赵金荣

摘 要：形如的指数函数的应用范围非常广泛，除了可以用来对人口的增长、银行计息、放射性元素的衰变等进行建模外，还可用于自然科学和社会科学的更广的领域。

关键词：指数函数;温室效应;衰变估算

1958年，C.D.Keeling of the Scripps Institution of Oceanography开始了一系列辛勤地测量工作，他持续测量了当时一个遥远的地方，也就是现在的夏威夷的Mauna Loa Observatory大气中二氧化碳的浓度. 他的观测活动一直持续到现在，观察数据说明，此处大气中二氧化碳的浓度呈现指数增长。Keeling的观测活动在世界各地不同地区，且在越来越短的时间段内进行着。而在所有的观测数据中均显示出各地大气中二氧化碳的浓度都呈现很明显的指数增长趋。这些文字摘自Gordon Macdonald在《温室效应的科学依据》一文，这是来自全球变暖的挑战，Dean Edwin Abrahamson， ed.（Washington， D.C.：Island Press， 1989）

引用纽约时报，2001年6月7号首页一篇主题是“专家告诉布什全球变暖变得越来越严重”的文章--美国的顶端科学家们组成的专家组今天声称全球变暖是一个实际问题，而且这个问题正在恶化。来自于国家科学学术协会—由11名领军大气研究的科学家组成—一个更具有预见性的报告，包括一些原来的质疑派，重申了这个科学界的主流观点，即地球大气正在变暖，人类活动付大部分的责任.报告中提到“温室气体由于人类的活动的结果在大气中积累，使得表面空气温度和大洋下层面的温度上升.”--纽约时报文章，Katharine Q.Seelye 和Andrew C.Revkin，2001，6，7.

二氧化碳，单个最重要的温室气体，对地球变暖付一半的责任，是人类过度释放的结果，而且对将来预测的变暖中付一半的责任.目前（1988）的浓度大约是每百万中350份（ppm），而且以0.4%每年的速率上升。我们在这里先不讨论温室效应对人类生存的重要性，而来说一下如何用数学知识来具体说明大气中二氧化碳的浓度呈现指数增长是什么意思，以及这类知识在现实中还有哪些应用。

一、指数函数预测二氧化碳浓度

在报纸上和日常的演讲中，“指数增长”常很轻易地用于描述涉及快速增长的任何情景.但是，从科学上讲，指数增长指的是某些特定地能够用形如y=aebx （b是正数，是常数）形式的增长.在社会学中，社会学家们会使用函数N（t）=NOekt 描述人口的增长模式.同样，使用这个函数也可以为大气中的二氧化碳的浓度增长建模。据统计，工业化以前全球年均大气二氧化碳浓度为278ppm（1ppm为百万分之一），而2012年是全球年均大气二氧化碳浓度为393.1ppm，到2014年4月，北半球大气中月均二氧化碳浓度首次超过400ppm。如果设大气中的二氧化碳的浓度在持续以指数形式以0.4%每年的速度上升，如何预测何时二氧化碳的浓度可能达到600ppm？（这个预测值将会是工业革命前估测的浓度的大约两倍.） 据科学家们研究发现，大气中二氧化碳的浓度随时间的变化规律可以近似用函数N（t）=NOekt表示，按照这个函数关系，要确定当大气中二氧化碳的浓度为N=600多对应的时间，需要使用前提条件：当t=0时，对应着1988年，此时二氧化碳的浓度是NO=350 ，取常数k=0.004 ，经过计算可以得到与N=600 对应的时间大约是1988年后135年后是2123年.利用这种方式可以得出结论：如果二氧化碳的水平持续以每年0.4%的速度增长，那么大约2125年，大气中二氧化碳的浓度将会达到600ppm.

二、指数函数在经济学上应用

使用同样形式的函数也可以用于描述一笔金额在连续复合计息的情况下增长的模式.如果 元的本金存入银行的储蓄账户，年利率是6%，连续复合计息.与此同时，另一笔 的本金存入另一账户，年利率也是6%，但是复息一年一次.使用绘图软件确定账户1中的余额超过账户2中余额至少10元所需要的时间.在描述这个过程中，绘图软件绘制的是函数y=100e006t 的图像。同样，这类函数还会用在经济学的其他领域，在这里我们不再详细描述，令人惊奇的是S=Pert ，这个式子的简洁美是由于无理数e的出现而形成的。更令人惊奇的是谁会想到e这个数，会出现在商业理论中？无理数e是瑞士数学家Leonhard Euler（1707-1783）引入的，为宇宙中屈指可数的几个常数之一。他为什么要选择使用字母e呢？关于这点没有一个统一地说法。一个观点认为，Euler选择这个字母是因为e是指数函数这个单词的第一个字母。更普遍的原因，可能是 这个字母是字母表中首个“没有过的”字母，因为a，b，c，和d经常出现在数学表达中。看上去Euler会选择字母e不太可能是因为这个字母是他名字的第一个字母。因为在很多的情况下，在形容Euler时，常常会说：他是一个非常平和的人。这些话摘自Eli Maor， e：一个数的故事。

三、指数函数描述放射性元素的衰变

更令人惊奇的是，用样的基本函数也能用于描述放射性衰变的规律，不过这里的 .科学家们是如何确定描述放射性衰变的规律，用这个函数适当呢？关于这一点可能有两个原因：一个经验性的解释，一个是理论性解释.早在1900-1903年期间，物理学家Ernest Rutherford （1908年诺贝尔物理奖获得者）和化学家Frederick Soddy（1921年诺贝尔奖获得者）开展试验测量放射型衰变.他们发现了形如N（t）=NOekt ，k<0 的公式确实适合描述他们的测量数据.而从理论的角度，可以解释为衰变速率在 时必须正比于目前放射性物质的量N（t） .在这个情况下，可以用微积分证明指数衰变适用.

科学美国人1976年1月刊，有一篇有关核能的文章.文章的作者是Hans Bethe（1906-1992），诺贝尔物理学奖获得者.文章中的观点之一是，Bethe教授讨论了核能发电设备产生的放射性废物的处理方式（通过填埋）.讨论中特别的一种产物之一就是钚—239。

钚—239的半衰期接近25，000年，需要经过10个半衰期的时间才能使得这类物质的放射性是原来的千分之一.由此，填埋的废物在生物圈中的存留时间是25万年.这个时间就是根据形如N（t）=NOekt 的函数进行预测的。如果用NO 表示钚-239在t=0 时的初始量，用N表示时间为t时的量表示為N（t）=NOekt ，要确定当 的时间t。通过使用指数函数

以及对数计算，可以得到的时间是249，114.6年，但在给定的时间规模内，以这种形式来表示无疑是滑稽可笑的.由此，把答案四舍五入至最接近千年的数，得到的就是249，000年后，钚的放射性才能降低到原来的千分之一.这个结果与Bethe教授的专业估算值，10个半衰期，或250，000年是一致的。

形如N（t）=NOekt 的指数函数的应用远不止于此。

参考文献：

[1]Dean Edwin Abrahamson， ed.，《这是来自全球变暖的挑战》，Washington， D.C.：Island Press， 1989

[2] Phillip Gillett，《微积分和分析几何学》，第3版，Lexington，Mass.：D.C.Heath，1988

[3] [1] 微积分初步-问题引导法，第6版，David Cohen， Ted Lee， David Sklar，2005 Thomson Brooks/Cole， a part of The ThomsonCorporation.