肖金安,贺兴时,王 燕

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

寿命试验是研究产品的可靠性的一种必要手段。为了节省试验时间和试验成本,研究人员一般采用截尾寿命试验。初期的截尾寿命试验分为定时截尾寿命试验(Ⅰ型截尾寿命试验)和定数截尾寿命试验(Ⅱ型截尾寿命试验)[1]2种。后续出现了在试验过程中移走部分试验样品的逐步截尾方案。为了满足越来越多的高可靠、长寿命产品的试验需求,Childs[2]率先提出了逐步混合截尾方案。在此基础上,Cho[3]提出一种名为广义逐步混合截尾的新截尾方案。该方案不仅可以在最少的试验时间内结束试验,且有足够数量的失效样本[4-5]。

Marshall-Olkin扩展指数分布(Marshall-Olkin extended exponential,MOEED)是可靠性试验中一类重要的寿命分布[6]。国内外学者对该分布的性质进行了大量研究。Singh[7]应用极大似然估计、最大间距估计、最小二乘法和加权最小二乘法讨论了该分布的参数估计和区间估计,其中极大似然估计和最大间距估计效果较好。基于Ⅱ型混合截尾方案,Abhimanyu[8]研究了MOEED中未知参数的贝叶斯估计和极大似然估计,贝叶斯估计的效果较好且最大后验密度区间更短。Sanku[9]获得了逐步Ⅱ型截尾场合下MOEED的未知参数估计和区间估计,利用单样本和双样本方法给出了预测,发现贝叶斯估计效果较优。王燕[10]讨论了该分布在逐步Ⅱ型截尾竞争失效产品下的参数估计问题,得出Bootstrap区间的覆盖率比渐进置信区间更优。综上所述,广义逐步混合截尾方案具有可控的终止时间及可控的失效数,文中考虑对非单调失效率函数的MOEED,在广义逐步混合截尾场合下研究其参数估计。

1 似然函数

Marshall-Olkin扩展指数分布的概率密度函数及分布函数[11-12]分别为

(1)

(2)

由式(2)可知,相应的生存函数为

(3)

式中:α为形状参数；λ为尺度参数。

根据试验过程可知,广义逐步混合截尾试验的停止时间为max{Tr,min{Tm,T0}},能够保证获得最少的失效数。当T0

(a) 情形Ⅰ

(b) 情形Ⅱ

(c) 情形Ⅲ图 1 获得失效数据的3种情形Fig.1 Three conditions of acquiring failure data

情形ⅠT1

情形ⅡT1

情形ⅢT1

由上述基于广义混合截尾下得到的截尾试验样本,得到似然函数为

(4)

统一计算公式为

[1-F(tr)]w1[1-F(t0)]w2

(5)

(6)

2 极大似然估计

2.1 参数估计

把式(1)和(2)分别带入式(6)可得

分别求关于α，λ的偏导数,得

(7)

(8)

因无法直接求得上述估计的准确值, 使用 Newton-Raphson 迭代方法[13-14]计算上述未知参数值。

2.2 渐进区间估计

由于极大似然估计的渐近正态性[15],由此得到未知参数的渐进置信区间。通过式(6),获得Fisher信息矩阵

式中

式中Zδ/2为标准正态分布的(δ/2)上侧分位数。

3 贝叶斯估计

3.1 联合后验分布函数

使用2个独立的伽马先验分布g(a,b)和g(c,d)分别估计α,λ,其中超参数a,b,c,d均已知。分别表示为

g1(α)∝αa-1exp(-bα);α>0,a,b>0

g2(λ)∝λc-1exp(-dλ);λ>0,c,d>0

综上可得α,λ的联合后验分布简化为

(9)

式中

3.2 Metropolis-Hastings抽样算法

由于无法获得贝叶斯估计的显式表达式,采用Metropolis-Hastings方法[17-18]获得式(9)中未知参数的点估计和最大后验密度可信区间(HPD)。α，λ的条件分布函数分别为

(10)

(11)

式中

Q(α,λ)=αw1+w2/{[1-(1-α)exp(-λtr)]w1·

[1-(1-α)exp(-λt0)]w2}

P(α,λ)=(exp(-λtr))w1(exp(-λt0))w2/

{[1-(1-α)exp(-λtr)]w1·

[1-(1-α)exp(-λt0)]w2}

利用Metropolis-Hastings方法采样的步骤如下:

步骤1 选定α，λ的最大似然估计为初始值,记为(α(0),λ(0))。

步骤2 设定l=1。

步骤4 重复步骤3,直到l=M,然后得到随机样本(α(1),α(2),…,α(M))和(λ(1),λ(2),…,λ(M))。

步骤6 对步骤4的α(t),λ(t)进行排序,得到α,λ的1-γ可信区间近似为

(α(1),α(M[1-γ]+1)),…,(α(Mγ),α(M));

(λ(1),λ(M[1-γ]+1)),…,(λ(Mγ),λ(M))

式中[x]表示不大于x的最大整数；α,λ的HPD分别是上述长度最短的区间。

4 数值模拟

使用文献[19]提供的方法产生服从MOEED的失效数据。选定参数值为(α,λ)=(2,2)和(α,λ)=(2.5,1.5),超参数均为(a,b,c,d)=(5,5,8,7)。基于不同的(n,m,r,T),有以下3种截尾方案:

方案1R1=R2=…=Rm-1=0,Rm=n-m;

方案2R1=R2=…=Rm-1=1,Rm=n-2m+1;

方案3R1=…=Rm-1=Rm=0,R1=n-m。

从表1～4可以发现,贝叶斯估计值比极大似然估计更好,均方误差也更小。同时贝叶斯估计的95%置信区间长度比渐进置信区间更短,效果更好。当待测样品数一定时,随着失效数的增多,估计值的均方误差和可信区间长度都变得更小。当失效样品一定,待测样品增加时,估计效果较差。

表 1 (α,λ)=(2.5,1.5)时,参数的MLEs、MSEs和ILs

表 2 (α,λ)=(2.5,1.5)时,参数的BEs、MSEs和ILs

表 3 (α,λ)=(2,2)时,参数的MLEs、MSEs和ILs

表 4 (α,λ)=(2,2)时,参数的BEs、MSEs和ILs

5 结 语

研究了在广义逐步混合截尾场合下MOEED的参数估计。建立似然方程,采用牛顿迭代法,给出了未知参数的最大似然估计值和渐近置信区间。采用伽马分布的先验分布推导出了MOEED未知参数的满条件密度函数和贝叶斯估计,采用马尔科夫链蒙特卡洛方法给出了MOEED的贝叶斯估计值和最大后验密度可信区间。仿真结果表明,贝叶斯估计比极大似然估计所得结果更好。