钱红丽,黄小涛

(南京航空航天大学 理学院,江苏 南京 211106)

1 引言及主要结论

二阶椭圆偏微分方程解的存在唯一性、正则性和对称性等性质是偏微分理论研究的主要内容。关于解的对称性和单调性,现已有的研究成果很多。不仅方程所在的各种区域被研究,比如有界区域、外部区域、环形区域和全空间Rn等。各类方程也被充分研究,比如Laplace方程、p-Laplace方程、各类退化椭圆方程、位势积分方程以及分数阶偏微分方程等。主要研究方法包括移动平面法、移动球面法、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式、Leray-Shauder定理、不动点定理、变分法和重排等。

经过近几十年的发展,二阶线性椭圆方程的基础理论已经比较完善[1-2]。关于完全非线性偏微分方程解的存在性、正则性等理论,经过Caffarelli[3]等的研究,已经成一定体系。但是，关于退化椭圆方程的理论研究,由于退化类型的多样化,目前还没有统一的研究方法和结论。Dibenedetto[4]和Hörmander[5]等研究了退化椭圆方程弱解的正则性等相关性质。近年来,众多学者研究了一类特殊的退化椭圆Baouendi-Grushin方程

ΔGu(z)=f(z),z∈RN

(1)

令z=(x,y)∈Rn×Rm=RN,γ≥0,Baouendi-Grushin型梯度G[6]定义为

则Laplace型Baouendi-Grushin算子可写为

(2)

式中Δx和Δy分别表示Rn和Rm上的Laplace算子。故Baouendi-Grushin方程可写为

Δxu+|x|2γΔyu=f(x,y)

(3)

-(Δxu+|x|2γΔyu)=uq

(4)

解的对称性,但是对于更一般的Baouendi-Grushin方程

-ΔGu+m1u=λ|u|q-1u(λ>0,m1>0)

(5)

由于项m1u的存在,移动球面法在此并不适用。 据作者所知,目前还没有方程(5)的对称性结论。

偏微分方程解的存在性和对称性问题可追溯到上世纪50年代。Alexandroff[11]首先研究了二阶偏微分方程解的对称性问题;1971年,Serrin[12]利用移动平面法,研究Laplace方程在有界区域上的对称性及方程解u的特定对称形式;Gidas等[13], Caffarelli等[14]众多学者运用多种形式的极大值原理对移动平面法进行了发展和完善。