摘要：本文以二重积分的计算为例，阐述了一题多解这种思维在二重积分计算中的应用。

关键词：二重积分;一题多解;发散思维

中图分类号：G642

文献标识码：A

文章编号：1672 -1578（ 2019） 08 - 02272 - 01

数学是思维的体现，解决问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生思维能力和创新能力，应是数学教学的中心问题。过多盲目地做题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而容易使学生疲劳，对数学提不起兴趣，而一题多解无疑是激发学生学习兴趣，培养发散思维品质和综合运用知识能力的一种十分有效的方法。

1.理论依据[1]

二重积分是高等数学多元函数积分学的重要部分，二重积分的计算是教学的重点也是难点。教材主要介绍了计算二重积分的三种一般方法：化为直角坐标系下的二次积分、化为极坐标系下的二次积分和换元法。下面给出一道例题的多种计算方法，使学生进一步掌握二重积的各种计算方法，达到知识的融会贯通。

2.应用举例[2-3]

计算I=∫∫sinx/xdxdy，其中积分区域D是由直线y=x和抛线物y=x2所围成。

基于二重积分的基本计算方法，将二重积分化为两个定积分。那么涉及到此二重积分应化为先对x的定积分，还是先对y的定积分，而这取决于积分区域和被积函数两方面。画图可知，积分区域既是x—型区域，同时也是y型区域，再来看被积函数sinx/y，如果先对x积分，此函数的原函数是不容易求出来的，事实上，它的原函数是不能用初等函数表示出来的。那么我们尝试将此二重积分化为先对x积分后y对积分的二次积分。我们发现当先对y积分代入上下限后，可以得到x-X2，然后与sinx/x作乘积后得到sinx - xsinx，而此函数对x积分，我们是特别容易求得的。

解1：由图1可知，若看成是X—型区域，积分区域D可化成以下二次积分

最后容易求出结果I=1 - sinl。

若积分区域看成是Y一型区域，化成二次积分

，由于smx不易求出原函数，Y一型区域进行求解看似行不通，但是我们可以进行知识的迁移。在求不定积分的时候我们有学过一种方法是分部积分法，那么二重积分有类似方法吗？事实上，答案是确定的。具体可以参考文献2。

解2：由分部积分公式，得最后容易求得结果I=1 - sinl。

对于sinx/x不易求出原函数的问题，还有其他方法解决吗？我们在学习高等数学第十二章无穷级数当中有一节《函数的幂级数展开式的应用》，从中我们可以有所启发，那就是可以将函数化为幂级数进行计算。

解3：应用幂级数的性质，因为

利用幂级数对和函数积分可以逐项积分的性质，有

由此，可以看出通过一题多解，不仅能够帮助学习者建立新知识与原有知识的桥梁，还可以通过学习后面的知识来解决以前遗留下来的问题，进行知识的融合。

除此之外，我们知道格林公式建立了二重积分和第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）的联系，所以我们可以将二重积分转换成第二类曲线积分来计算。

解4：利用格林公式计算。

取，则P=

，Q=O，则

。L是指平面区域D的边界曲线，分为l1和l2，l1是指抛物线y= X2从（0，0）到（1，1）的一段弧，l2是指直线y=x从（1，1）到（0，0）的一条有向线段，代人格林公式，得

3.结语

通过一题多解的训练，可以加深学生对二重积分计算的理解，刺激其固有的思维模式，进行各种知识的融会贯通，从而培养学生发散思维的品质，提高学生综合应用知识的能力。

参考文献：

[1] 同济大学数学系，高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2] 張肖金，萨学思.二重积分中的分部积分公式[J].西北师范大学学报：自然科学版，1998，34（3），76 - 80.

[3] 马艳丽，丁健，李海霞，关于二重积分计算法的补充[J].玉溪师范学院学报，2016，32（4）：16 -20.

[4]周后卿，积分中的一题多解与思维训练[J].广西教育学院学报，2014（2）：158 - 160.

作者简介：段文梅（1990-），女，山西大同人，硕士，助教，研究方向：无穷维动力系统及高等数学。