☉浙江省杭州市文海实验学校 徐宏晖

☉浙江省杭州市文海实验学校 李卫明

一、研究问题的背景分析

数学学科核心素养与思维力紧密相关，数学从“双基”到“四基”，都与思维力相辅相成，相得益彰.而现状是学生迷失在题海中，失去了思考的动力，为了完成作业而做题.既为了培养学生的数学学科核心素养和“四基”，也为了学生能脱离题海，我们需要合理设计作业.

虽然目前我们有很多可以借鉴的好资源，例如，教材配套作业、各种教辅资料等，但各校的生源不同，决定了一套面向全体的作业不一定适合本校的实际，而且在学生思维力的培养上不能有所侧重.拿来主义的作业不整合、不分层，往往造成有的学生吃不饱、有的学生吃不下，若增加量只会增加学生的负担，但在思维力的培养上不见得有收益.编写适合自己学生特点的作业迫在眉睫，编写真正培养学生思维力的作业更迫不及待.在这样的背景下，我们编写了基于思维力培养的数学校本作业，本文侧重对每日一题进行研究与实践.

二、研究指向

思维力是人脑对客观事物间接的、概括的反映能力.当人们在学会观察事物之后，他逐渐会把各种不同的物品、事件、经验分类归纳，不同的类型他都能通过思维进行概括.思维力是整个智慧的核心，参与、支配着一切智力活动.每个人的学习、工作和生活都离不开思维力.笔者借助物理学力的分析，力具有三个基本要素：大小、方向、作用点，定义思维力同样具有三个最基本的要素：大小、方向、作用点.

关于校本作业，在知网上可以查到60篇文章，有的从校本作业设计的原则与策略入手，有的从学情出发探索如何进行校本作业的设计，有的从提高数学作业效率的角度编写校本作业，有的根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，结合本校的传统和优势、学生的兴趣和需要，设计校本作业，有的激发学生学习兴趣，以提高学生在课堂上的求知欲为目标设计校本作业，有的以当前作业中存在的问题为背景设计校本作业.知网上关于数学校本作业的研究不多，注重思维力培养的校本作业的研究更是没有，因此笔者所在团队想借校本作业编制的东风，促进思维力的发展，尝试专门设置一个板块，以提高思维力培养的效果，而且可以让学生主动参与到课堂教学中，能够大胆创新.校本作业是根据各自学校的实际情况，由学校自发组织，教师自主编制的学生书面作业.不同于以往的练习册等配套教辅资料的形式，校本作业由教师自行编制，更能切合本校学生实际情况，是“因地制宜”教育思想的具体体现.根据笔者团队的实际情况及学生的学情，只对九年级校本作业中的“每日一题”进行研究与实践.到时根据九年级的研究情况再推广到七、八年级“每日一题”的研究与实践.

三、研究过程

1.九年级校本作业每日一题的设计编制研究

本研究将对九年级校本作业中每日一题的编制进行深入探索，以吃准教材的编写意图为前提，准确把握教材考查要求，在巩固学生所学知识的基础上侧重学生思维力的培养.同时“每日一题”的编制会关注数学学科的特点和学生认知的发展规律，满足学生的需求，切实减轻学生的负担.例如，在“1.3二次函数图像性质”的“每日一题”中，我们编写了这样一题：

已知关于x的函数y=kx2+（2k-1）x-2（k为常数）.

（1）试说明：不论k取何值，此函数图像一定经过点（-2，0）.

（2）当x＞0时，y随x的增大而减小，求k的取值范围.

（3）该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.

第（1）问建立在学生能熟练画图的基础上，任取一个k都可以画出一个函数图像，不管取几会发现都经过点（-2，0），学生容易上手操作，当然有学生可能也会这样理解，不论k取何值都经过点（-2，0），说明与k无关，合并k使其的系数为0.第（2）问与图像性质有关，因为已知只是说函数，所以首先要分类，k＝0（一次函数）或k≠0（二次函数），再利用一次函数或二次函数的图像性质解决，特别是二次函数的图像性质只跟开口方向与对称轴有关，因此k≠0还要细分成k＞0和k＜0，再结合对称轴判断增减性，确定k的取值范围.第（3）问的分类与第（2）问相同，当k＝0或k＜0时，显然不存在最小值，只有当k＞0时可以利用顶点的纵坐标公式代入解得.

这题的编制紧紧围绕图像展开，真正做到有图有思路，利用图像这个工具，把抽象的性质直观呈现出来，问题设计由易到难，层层深入，步步面向函数图像性质的本质，既满足知识点巩固与练习的需求，也符合学生的认知特点，从随便画找出规律到有针对性地画，画出满足条件的图像再进行研究，对学生思维力的培养有重要意义.

2.每日一题的素材研究

（1）有效整合拓展数学课本资源.

将九年级教材中的例题、课后习题、探究活动、阅读材料等内容进行科学整合重组，形成每日一题，使之更适合学生思维力培养的需要.例如：

（九上教材P90例题）如图1，等腰△ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径作半圆交BC于点D，交AC于点E，求和所对圆心角的度数.

每日一题改编：

如图2，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E，且BD=DC.

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当AB=AC=13、BC=10时，求BE的长；

（3）连接DE，求证：2CD2=EC·AC.

几何证明一直是学生感觉比较困难且掌握得不是很理想的内容，圆周角相关的内容是圆中考查的重点内容.直径所对圆周角等于90°能与等腰三角形的三线合一相结合，从计算看也可以用勾股定理，在圆的背景下也容易得到相似三角形，便于产生边的比例关系和角的等量关系等.但学生往往不能综合运用，融会贯通.本题想从教材出发，在不改变主要考查知识点的基础上做出一些改变.例如，第（1）问刚好与教材中的问题反了一下.第（2）问想充分运用这个直角，考查三角函数的知识，或者说考查已知三边求腰上的高，有多种方法可以解决.第（3）问想通过证明线段的比例关系，特别是含具体数的线段比例关系，在利用三线合一的基础上利用相似三角形就可解决.题目来源于教材，改编于教材，促使学生重视教材，同时帮助学生对所学东西建立固着点，有本有源.学生在解决改编题的过程中思维力得到不断挑战与培养，也便于学生反思，促使学生思考，思维得到不断提升与优化.

（2）对现有资料的整合改编.

目前数学作业可供我们选择的有《全效学习》《全优新同步》《尖子生》《走进重高》《培优班》，以及各类试卷，还有近几年各地的中考题等，也有各种网站上可供选择的资料.可供选择的资料很多，但适合学生的不多，特别是培养学生思维力的不多.在适合教材要求的条件下，对现有资料进行整合、适当改编，减少每天的作业量，同时提高解题的思维含量，培养学生的思维力.既要有基础巩固，又要有思维提升，改编重组十分必要.

整合改编的一般步骤：确定目标→收集资料→交流讨论→整合改编→实践反思→二次讨论→二次整合优化→定稿.

例如，在编圆的综合题时，目标是重点考查与圆的切线相关的知识，通过各种资料与网络收集各种与切线有关的综合题，然后选择合适的问题或改编成合适的问题得到下题：

如图3，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.

（1）求证：GE是⊙O的切线.

（3）若OF∶OB=1∶3，BE=3，求OB的长.

第（1）问是切线的判定（证明），第（2）问是切线性质及弧长公式的应用（计算），第（3）问是利用切线性质得到垂直，利用勾股定理建立方程解决.从切线的判定到切线的应用，再到切线的创造性应用，学生在解决问题链的过程中思维得到不断锻炼，思维力得到提升.实践以后，根据学生反馈情况，确定是否要对条件或问题进行优化，确定后再提交给下一届使用，他们也可以根据自己学生的情况提出修改或优化，最后确定使用.

（3）课堂生成问题的利用.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：教学中应当注意“预设”与“生成”的关系.教案是教师对教学过程的“预设”，教案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造.实施教案，则是把“预设”转化为实际的教学活动.在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源.作为数学教师，我们要根据学科知识特点及学生认知特点关注课堂上即时生成的问题，捕捉教学资源，指导教学活动，进而促进学生主动参与学习，提高教学效率，培养学生的思维力.例如：

（九上教材P149作业题）有一块三角形余料ABC，它的边BC=120，BC边上的高AD=80.如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，加工成的正方形零件的边长是多少？

课上学生提出问题：如果把它加工成长方形零件，使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，加工成的长方形零件的最大面积是多少？（课堂上生成的问题：正方形改为长方形可以吗？）

每日一题：在教材作业题相同条件下，在△APM中再作一个类似正方形.

（1）求边长.

（2）若按之前的规律再在小三角形中作一个正方形，一直作n个，求第n个正方形的边长.

教材例题利用相似求正方形的边长，由相似得到对应边之比等于对应高线之比，得到方程之解即可.学生生成的问题是把正方形的背景替换成长方形，看似相同却又不同，相同的是对应边之比还等于对应高线之比，但有两个未知数，要求长方形的边长，一个方程不能解决，需要改变问题：例如，问长方形长与宽的关系式；也可以给出长方形长与宽的比（如3∶2），求长方形的长或宽等.

因为有了课堂上学生提出的问题，就顺着学生的思考把“每日一题”进行了改编，再作一个小正方形，求小正方形的边长.从思维上讲就是教材例题问题解决的模型用两次，只是计算复杂一点，学生的思维够得着，可以试试.第（2）问求第n个正方形的边长，不仅仅是应用例题问题解决的方案及计算问题了，重复做可以，重复几次呢？所以第（2）问的设计涉及探究规律，在前面计算的基础上利用归纳法探究边与已知条件中高的关系.

在学生做好“每日一题”的讲评中，又有学生提出这个小正方形是否可以在△BPQ（△CNM）中或在两个三角形中都作，作一个从本质上看没有变化，但作两个的话求两个小正方形的边长有什么关系还是值得思考的.问题的关键是学生有不同的思考，有更深层次的思维值得欣喜.

3.每日一题编制的案例分析

从思维力培养的角度对每日一题编写进行分析，从已知（多少）、求证求解（目标）、过程方法思维展现（着力点）三个维度研究.本研究还将结合学生在做每日一题中的具体情况进行实证研究，并总结和梳理研究结果，形成案例，便于分析与分享.

学生思维展现（暴露）步骤：

仔细审题（找出已知条件、隐含条件及问题）—理解题意（利用定理、定义、概念等从已知条件、隐含条件中推出相应的结论，作为备用条件，审题及理解题意即已知多少）—确定思路（结合问题组织已知条件、隐含条件及备用条件，选择跟问题有关的有用信息，过程方法思维展现即着力点）—实践反思（根据解题思路写出证明过程，反思整个推理过程，若不严密或不准确再重新审题，重复前面的步骤，即目标），再借鉴SOLO分类评价法对学生展现的思维程度进行评价，反思“每日一题”的编制，再让学生变式，完善思维过程.