☉广东省深圳市光明区马山头学校 韦丽云

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.”

折叠是初中几何图形常见的一种变换方式，折叠问题是学习了勾股定理之后的常见题型，但学生往往对这类题比较畏惧，究其原因，一是对折叠的本质理解不透彻，二是缺乏抽象建模的意识和能力.为此，本人在教学完北师大版数学教材八年级上册第一章“勾股定理”之后，设计了一节探究课“折叠问题中的勾股定理”，选取以矩形为背景的几个折叠问题进行研究，让学生经历“折—画—探—悟”的过程，既是巩固勾股定理的应用，同时希望学生通过本节课的学习，获得解决折叠问题的经验，培养解决问题的能力，实现数学素养的提升.

一、教学活动简述

1.活动探究，直观感知

活动1：如图1，给你一张矩形的纸片，把它做一次折叠，你会得到哪些不同的图形？你发现在折成的图形中，有哪些相等的线段和角？与同桌交流一下.

教学说明：通过一个开放性的活动，创设学生之间合作交流的情境，激发学生的学习兴趣，增强学生对折叠问题的感性认识.学生通过动手和观察，发现折叠问题最本质的特性：折叠具有全等性，对应线段相等，对应角相等，为后面的探究学习奠定基础.

活动2：分组活动，请按要求一次折叠矩形纸片，并画出折叠后的几何图形，各组派一名代表把得到的图形画在黑板上.

第一组：使矩形的顶点B的对应点B′落在边AD上（如图2）；

第二组：使矩形的顶点B的对应点B′落在对角线AC上（如图3）；

第三组：将矩形ABCD沿对角线AC折叠（如图4）；

第四组：使矩形的顶点B的对应点B′恰好与点D重合（如图5）.

教学说明：课前根据座位把学生分成4个大组12个小组，让学生按大组领任务，然后小组合作，动手操作，先折叠出形状，再画出几何图形，经历一次由直观到抽象的过程.学生分组完成任务，既让每个小组成员有参与的机会，体验了动手的过程，同时节约了时间，提高了效率.此次完成的几个图形，是几个特殊位置的折叠图形，也是本节课要重点研究的几个图形.

2.问题导航，思维建构

在这些图形中，可以提出哪些数学问题？怎样求解呢？

（1）简单图形，直接应用.

问题1：如图6，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B的对应点B′落在边AD上.若AB=6，AD=8，你能求出图中哪些线段的长度？

教学说明：图6是折叠问题中最简单的一个图形，从一个起点低、入口宽的图形入手，帮助学生树立学习的信心.通过观察和思考，学生发现，利用折叠的性质及勾股定理，这个图形中所有线段的长度都能求出来！结论如下：

（2）图形变式，间接应用.

问题2：如图7，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B的对应点B′落在对角线AC上.若AB=6，AD=8，你能否求出图中所有线段的长度？

教学说明：在问题1的基础上进行图形变式，并提出问题“当点B的对应点B′落在对角线AC上时，是否能求出图中所有线段的长度”，充分激发了学生的求知欲望.根据前面的经验，学生容易得出CD=AB′=AB=6，BC=AD=8，AC=10，B′C=10-6=4等结论.而对于BE、B′E、CE、AE这几条线段的长度，需要把未知的线段转化到Rt△B′EC中，利用勾股定理建立方程，虽然经过教师引导和提示后，学生才找到问题的解决方案，但是，在探究这个问题的过程中，学生体会到了用数的方法解决形的问题的好处，对数形结合思想和方程思想有了理性的思考，思维能力和数学素养得到了提升.

解题过程如下：设BE=B′E=x，则CE=8-x.

在Rt△B′EC中，42+x2=（8-x）2.

解得x=3.

（3）建立模型，拓展应用.

问题3：如图8，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′.

（1）请判断△ACE的形状；

（2）若AB=6，AD=8，请求出△ACE的面积.

教学说明：在问题2的基础上继续进行图形的变式，提出的问题既是对前面所获得经验和方法的强化，也是对知识应用的补充.因为要判断△ACE的形状，注意力需从研究线段转移到研究角的相等关系上来.判断完三角形的形状之后，利用问题2中的方程模型可以求出DE和AE的长度，进而求出三角形的面积.

解题主要步骤：设DE=x，则AE=CE=8-x.

在Rt△ECD中，62+x2=（8-x）2.

（4）复杂图形，构造应用.

问题4：如图9，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B的对应点B′恰好与点D重合.若AB=6，AD=8，求折痕EF的长.

教学说明：问题4设计了一个具有挑战性的问题，不仅考查学生对前面建立的数学模型灵活应用的情况，而且考验学生是否具有开拓进取的精神.根据前面的解题经验，可以求出图中除EF之外的所有线段的长度，想求出EF的长度，只需构造出Rt△EGF，便可应用勾股定理解决问题，但学生未必想得到.前面建立的数学模型是解决此题的关键.在图形变化的同时，求解问题的跳跃度大，没有给学生设置提示和铺垫性的问题，学生不容易发现此题与前面几个问题的关联，因此，要留给学生充分讨论、探究的时间.

过点E作EG⊥BC于点G.

3.归纳总结，提升素养

通过本节课的学习，你有哪些收获？请从核心知识、数学思想、方法策略几个方面进行归纳，同时请同学们对自己一节课的学习过程进行回顾小结，并写一句激励自己的话.请把相应的内容填写到数学思维课堂自我评价表里.（附：数学思维课堂自我评价表）

表1 数学思维课堂自我评价表

在学生完成数学思维课堂自我评价表的填写之后，教师再引导学生进行总结提升，形成以下的结构框图（如图10）.

图10

教学说明：归纳总结环节必须在学生深度思考的基础上，教师再引导学生进行总结提升，总结评价要体现全面性、客观性，具有激励性.为此，我们编印了《数学思维课堂自我评价手册》，学生每节课对应完成一个自我评价表.这样的归纳总结，真正体现了学生是学习的主人，使获得知识、培养能力、提升素养落到实处.

二、教学反思

本节课的设计以活动引领问题，把问题作为思维的载体.学生学习经历了“折—画—探—悟”的过程，整节课可以分为以下四个环节：简单图形，直接应用→图形变式，间接应用→建立模型，拓展应用→复杂图形，构造应用.

首先提出“在折叠得到的图形中，可以提出哪些数学问题，进行怎样的求解”这样一个承上启下的问题，引发学生的思考，使学生由活动状态过渡到思维状态.接着，把整节课的学习内容通过四个问题呈现出来.问题1，从一个简单图形入手，“对于指定的图形和条件，你能求出图中哪些线段的长度？”问题解决的途径可以看作折叠性质和勾股定理的直接应用.问题2，“图形变化后，你是否能求出图中所有线段的长度”，这个问题需要把未知的两条线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程来求解，是定理的间接应用.问题3，“图形再发生变化，请判断△ACE的形状并求其面积”，此问依然需借助图2中的方程模型，欲求三角形的面积，可以先借助方程模型求出线段长度，然后求出面积，是定理的拓展应用.问题4，“在第四个图形中，求出折痕EF的长”，解决这个问题需要学生发现图中的方程模型，并自己构造直角三角形，对学生思维层次的要求更高，是定理的构造应用.这四个问题看似彼此独立，实则相互关联，环环相扣，由浅入深，逐层递进，引领着学生的思维一步步向纵深处发展.在解决问题的过程中，注重数学思想方法的渗透和数学模型的建构，充分落实了数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养.

希腊哲学家、教育家苏格拉底说过：“教育不是灌输，而是点燃火焰.”课堂教学应该是教师点燃学生追求真理思想的火焰.因此，本节课立足于构建既有温度又有深度的数学课堂，让学生的智慧之花在课堂绽放.首先，创设了轻松的学习氛围，给学生创造了合作交流的机会，在探究的过程中注重激发学生的求知欲，培养学生的开拓意识和创新精神，让学生在不断解决问题中体会到成功的喜悦.“提兴趣—促交流—树信心—激欲望—助挑战”这样一条情感主线在课堂上静静流淌，对学生情感态度价值观的引导落到了实处.本节课从思维和情感两个维度去构建数学课堂，情理交融，注重培养学生浓厚的数学学习兴趣和良好的数学思维品质，促进学生生动活泼、富于个性地学习成长.

三、结语

张奠宙先生说，数学的表现形式比较枯燥，给人一种冰冷的感觉.但是数学思考却是火热的、生动活泼的.如何点燃和激起学生的火热思考，能够欣赏数学冰冷的美丽，实在是数学教育的一项根本任务.进入到初中阶段的学习后，数学冰冷的美丽让不少孩子望而却步，过早被分化出来，迷失在学习的起跑线上.让数学的理性散发出温暖的光芒，让数学课堂充满着生机和灵动，让每一个孩子在数学课堂上都找到一个属于自己的支点，这就是培养学生思维的课堂，也是落实核心素养的课堂.为此，笔者进行了多年的探索和实践，并取得了一些成绩，所教班级学生学习兴趣浓厚，思维活跃，在期末统考和中考中，各项优秀指标均遥遥领先于同类班级.今后，“重思维，育素养”将会继续成为笔者数学课堂教学的方向.