☉湖北省武汉市第四十五中学 叶 蓓

“圆的起始课”在不少版本的教材上都是通过生活中圆的图片引入新课，进而给出圆的描述性定义，再给出“集合定义”，整节课中与圆相关的概念琐碎，教学难有新意，往往还给出很多训练知识记忆类的习题进行练习，这些“圆的起始课”教学的品质不高.最近笔者有机会执教“圆的起始课”，对比不同版本教材后“教材再建构”，基于深刻理解数学的角度重视圆的定义教学，并成为圆的新授课教学的一个用力点.本文梳理该课教学流程，并给出笔者的教后反思，供分享和研讨.

一、“圆的起始课”教学流程

教学环节（一）画圆活动，形成概念

教学组织：开课时让学生用圆规画出一个圆，并安排一个学生到黑板上画圆，大家观察在画圆的过程中，圆是怎样形成的，让学生来说圆，从而生成圆的描述性定义.

设计意图：通过学生的动手实践，引导学生学会归纳，更注重数学中文字语言的精炼、简洁，从而掌握好圆的描述性定义.

预设追问1：圆的位置和大小由什么决定呢？

教学组织：学生通过画圆，得出圆的两个要素——圆心和半径.

设计意图：通过学生的实践，再次明确几何图形的位置和数量等决定性因素.

预设追问2：同一个圆中半径的数量关系是什么？（学生回答“相等”，引出“一中同长”）

教学组织：通过圆中半径的不变性，引出数学史“一中同长”.

设计意图：加深学生对圆的描述性定义的理解.

预设追问3：到定点O等于OA长度的点有什么特点？

教学组织：引导学生复习角平分线的判定和线段垂直平分线的判定，并学会用点的集合来定义，从而得出圆的集合定义.

设计意图：通过对角平分线和线段垂直平分线的判定，我们可以明确探究“圆的集合定义”，让学生明白数学概念的一个重要方法——类比法.

预设讲授：圆中还有很多相关概念，在小学也或多或少接触过，现在我们再帮助同学们做一些梳理和明确，教师在圆上依次介绍弦、直径、弧、等弧的概念及它们之间的相互联系（直径是特殊的弦，一条弦对着两条弧，等弧必须在同圆或等圆中等）.

跟进练习：如图1，你能说出图中哪些与圆有关的概念？

图1

图2

教学环节（二）典例分析，巩固定义

例题：如图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.

教学组织：学生独立完成后全班交流展示，教师点评并规范解题格式.

设计意图：重在分析题目，题中已知矩形，要得到四点在同一个圆上，就是要得到这四个点到点O的距离相等，从而合理利用矩形的对角线相等且互相平分，做到所答即所问.

变式练习：如图3，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上.

教学组织：师生一起分析题中已知和求证，学生自己探讨解题思路——点共圆的证法，反复强化学生“回到圆的定义去证题”的思想，进一步归纳出证明n个点到某点的距离相等是证明这n个点共圆的基本方法.

图3

教学环节（三）图形变式，生成新知

例题变式：如图4，在AB边上有点E，DB的延长线上有点F，请指出点E、点F与圆的位置关系.

图4

教学组织：在解决这个变式问题之后归纳出“在平面内，点与圆的位置关系有：点在圆内，点在圆上，点在圆外”，渗透数形结合的思想，并介绍等价符号“⇔”.

跟进练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.

（1）以C为圆心、3cm为半径作圆，分析点A、B与圆的位置关系；

（2）以C为圆心、4cm为半径作圆，分析点A、B与圆的位置关系；

（3）以C为圆心、2.4cm为半径作圆，分析点A、B与圆的位置关系.

教学组织：教学时让学生动手画圆，分析三角形的顶点与圆的位置关系，第（3）问的数据2.4cm恰是斜边上高的长度，为以后研究斜边AB与该圆的位置关系预留了一个“数学现实”.

教学环节（四）师生小结，学习展望

小结问题1：本节课我们是如何学习圆的？你对圆的哪些概念印象深刻？

小结问题2：根据以往我们对一个新图形的研究经验，你觉得后续还会研究与圆相关的哪些内容？

教学预设：通过小结问题让学生认识到圆的学习是从圆的定义（两种不同定义）出发，梳理了圆的符号表示、圆的相关概念（如弦、弧等），并且利用圆的定义证明了矩形的四个顶点共圆.展望后续研究和学习，与圆有关的位置关系，基于圆的对称性质的研究，与圆相关的运算等，都是学习的重点.

二、教后反思

教研组老师听课之后对该课的教学表示了肯定，认为我们能够“学材再建构”，从“教教材”走向了“用教材教”，并且在学程推进过程中，对能放手让学生展示讲解表示赞赏，认为这体现了以学生为主体的教学理念.当然，也有评课老师从理解数学的高度，对教学内容和教学方法提出一些建议，比如，要更加重视“从定义出发”的教学引导，重视“圆的定义”的教学.以下就围绕如何重视“从定义出发”“回到定义”阐释几点教后反思.

（一）在“圆的定义”教学时要“慢”一点

当前由于所谓导学案的推动，不少新授课以“一个定义、三项注意、大量练习”的方式推进学程，这样的教学方式败坏了数学的名声，把数学概念教学异化为习题教学、刷题教学，学生很难达到深刻理解数学概念的追求.就圆的定义教学而言，不少教师从生活中的图片引入圆的概念，这类图片中虽然有圆的形象，但是对引出圆的定义没有多大帮助，而用圆规画圆这个熟悉的操作，却体现了圆的本质，所以在“圆的定义”教学时，慢下来，让学生慢一点画圆并感受圆是如何生成的，从而加深对圆的定义的概念性理解，为给出描述性定义做好铺垫.

（二）在“圆的习题”教学时要“回到定义”

在数学新授课教学中，在概念生成之后，常常需要选用恰当的例、习题进行训练，在组织学生练习之后，教师要讲评，讲评时可以适当追问学生对解题偏差、解题思路的理解，特别是要引导学生“回到定义”去解题.具体地说，当学生获得思路贯通之后，教师可通过组织展示学生的步骤，基于“步步有据”解题追求，请学生回答依据，把圆的定义通过具体的题例让学生反复表述，这也是回到定义去解题的具体操作要义.我们在上面的课堂教学中做得还不够到位，值得今后改进和强化.

（三）在“小结展望”时要重视“从定义出发”

课堂小结时仍然可倡导本课研究的出发点是“圆的定义”，从圆的定义出发，就可把圆的要素（圆心、半径）、相关概念（弦、弧等）进行梳理、结构化，完善结构化板书，并从与圆相关的性质进行学习展望，为后续学习提供方向和路径.这里还可提及“结构化板书”在小结阶段的操作要义，这就是把课堂教学进程中形成的一些板书（可能比较零乱、缺少条理）通过一些线段、框架线连接，形成“结构化板书”.