颠倒的总数和份数

2019-08-07陆静

小学教学参考(数学) 2019年7期

陆静

[摘要]虽然小学阶段的知识总是越直观越好，对某些算式的解释也是越通俗越好，如除法，就是将总数平均分配给若干对象，然后求每个对象分到的分量，但学生有时会误认为大数就一定为总数，小数就一定为份数，一旦待分割的总量小于份数，学生的思路就会陷入死胡同。在教学中，教师有时可以故意调换总数与份数的位置，培养学生灵活运用解题策略的能力，让学生活学活用。

[关键词]总数;份数;颠倒

“用4千克的马铃薯可以提制淀粉1.6千克。照此计算，1千克的马铃薯可以提制多少千克的淀粉？要提制1千克淀粉需消耗多少千克马铃薯原料？”这样的“马铃薯提制淀粉”类型题屡见不鲜，一个条件两个问题，两问题之间只是调换了单位量和分配量的位置，这对于学生来说不亚于一次脑力竞赛，尤其对于学困生，他们总是难以辨明二者的区别，时常混淆。对于这类题目，一些资深的教师主要教授以下两种解题方法。第一种：抓住问句的落脚点和中心词，看到底求的是淀粉还是马铃薯。如果求的是淀粉，那就用淀粉的量除以马铃薯的量;如果求的是马铃薯，那就用马铃薯的量除以淀粉的量。第二种：看问题中已经定为单位“1”的是哪个量。如果问句中含有“1千克马铃薯”的表述，那就把马铃薯的量作为除数，淀粉的量作为被除数;如果问句中含有“1千克淀粉”的表述，那就反过来把淀粉的量作为除数，马铃薯的量作为被除数。在感慨这两种解题妙法之余，笔者也有了自己的一些研究和体悟。

一、两种解法，一种数量关系模型

以上两种解法有异曲同工之妙，归根结底就是遵守一个准则，那就是基本的数量关系模型：“总数[÷]份数=每份数”。第一种解法着重寻找总量，而第二种解法则偏重于份数，不管思路怎么变换，都是沿着不同路径计算出“每份数”。如果把马铃薯的量看作总数，对淀粉进行配额，那么淀粉的量值就为份数，也就是1千克单独为一份，用除法计算就可以算出每千克淀粉需要消耗多少千克的马铃薯，即题目的第二问。有了基本数量关系模型作为论据，笔者教学时信心倍增，下一步亟须解决的是如何让学生理解。要让学生深刻理解为什么总数和份数之间可以颠倒相除，这是教学的难点。受低学段整数除法的负迁移，学生印象中只有大数字可以除以小数字，大数会被默认为被除数，小数则被默认为除数。随着数域的扩充，小数、分数不断加入到数字的行列，这种守旧落后的观念迟早要打破。因此要想解釋清楚这个问题，必须彻底铲除学生心目中的小数不能除以大数的偏见。

二、颠倒表述，拓展至策略制定

怎么清除学生心目中的思想障碍，笔者采取了欲擒故纵的策略，给学生出了一道低学段的除法题：孤儿院有80间儿童房，平均分给40名孤儿居住，每名孤儿能分到几间房？这道题显然难不倒学生，列式80[÷]40=2（间）就可轻松解决问题。笔者马上又跟进一个“换位思考”的问题：40名孤儿平均分给80间儿童房，平均每间房里住几名孤儿？问题一出，学生都愣住了，仔细考虑后，还是有学生自告奋勇地列出算式：40[÷]80=[12]（名）。笔者从旁解释：40名孤儿平均分配80间儿童房，最后每两间房住一个人，也就是每间房住半个人。学生听了笔者的解说，茅塞顿开，频频点头称是。借此机会，笔者讲述了总数、份数在生活中有时是可以颠倒调换的，只是在低学段还没有涉及小于1的分数和小数，所以不便论及。借此良机，学生再来解答“马铃薯提制淀粉”类问题就易如反掌了。

在新版教材中，解决问题的重心转移到策略制定上，那么站在策略高度，碰到“马铃薯提制淀粉”类问题还有什么其他策略吗？梳理小学阶段的其他解题策略，有画图、列表等，但画图在此显然不合时宜，可以尝试列表。

分析表格可知，马铃薯和淀粉是有对应关系的，多少量的马铃薯对应提制多少量的淀粉，马铃薯的数量增加，淀粉的数量也相应增加，淀粉的数量减少，马铃薯的数量也相应减少。既然存在这般对应关系，那问题就很明了了，比如表格中4千克马铃薯→1千克马铃薯，马铃薯的数量缩小了4倍，那么提制淀粉的数量也应相应缩小4倍，变为1.6[÷]4=0.4（千克）;提制淀粉1.6千克→提制淀粉1千克，淀粉的数量缩小了1.6倍，那么马铃薯的数量也应随之缩小1.6倍，变为4[÷]1.6=2.5（千克）。利用列表策略可以清晰反映出马铃薯和淀粉之间的随动关系，只有看清了对应关系，解答起来才能驾轻就熟。

三、触类旁通，策略的广泛应用

列表策略在“马铃薯提制淀粉”类型问题上作用巨大，比如，200克马铃薯可以提制淀粉40克，照此计算，要提制淀粉200克，需要马铃薯多少克？有1千克马铃薯可以提制淀粉多少克？碰到这类问题，列表找对应关系比思考辨析总数、每份数要便利得多。可见，在策略意识的培养上，教师不能因循守旧，而应该引导学生活学活用。

上面提到的都是有关“马铃薯提制淀粉”的问题，那么在掌握“马铃薯提制淀粉”的基本解题策略后，该策略还有哪些拓展应用？常见的有类似例题：李明经常骑车上学，上学时走上坡路，每小时行3千米，放学时走下坡路，每小时行4千米。李明骑车上学的平均速度是多少？此题貌似缺少路程这一条件，而且看上去跟“马铃薯提制淀粉”问题风马牛不相及，但仔细琢磨，“走完1千米需要几小时”，不就是“马铃薯提制淀粉”问题的翻版吗？把条件“上学每小时骑行3千米”看似简单的“马铃薯提制淀粉”问题其实并不简单，一些繁难的问题通过“马铃薯提制淀粉”式的另类解读便可轻松化解。可见，解数学问题时应该透过现象直击本质，只有把握本质才能走得更远。