江苏省扬州市田家炳实验中学 宋 扬

有理数及其运算是整个数与代数的基础，掌握一定的有理数运算技能很有必要。运算能力是运算技能与分析、推理能力的结合，要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特征，选择合理、简捷的运算路径，拓展解决问题的创造性思维空间。

有理数运算的常见技巧和方法有：利用运算律；恰当分组；以符（字母）代数；倒序相加；裂项相消；错位相减；分解相约；添置辅助数；巧用乘法公式；借助因式分解等等。运算技巧和特殊方法的精准使用，不仅能简化运算，减少计算量，减少出错，较快得到正确的结果，处理一些用常规方法不能解决的问题，还能扩大知识面，灵活运用所掌握的知识，开阔视野，增强能力。研究和把握较多的运算技巧和方法，有利于因材施教、分层教学和分步递进，对于开发智力、培养更多的创新型人才将会起到积极的作用。

一、整体设元，倒序相加

例1 求：1+2+3+…+n 的值。

解：设S=原式，从而有 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

解：设S=原式，将每个括号内各项分别按倒序改写，

二、运用算律，合理分组

此即为例2 的模式，以下过程略去，运算结果为原式=1580。

例4 计算：1-2+4-6+8-10+…-998+1000。

解：原式=1+（-2+4）+（-6+8）+…（-998+1000）=1+2×（1000÷2÷2）=501。

例5 计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020。

解：原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（2017+2018-2019-2020）=（-4）×（2020÷4）=-2020。

三、剖析通项，裂项相消

此处对照一下例6与例7的通项公式，可以发现这两种模式(题型)之间的内在联系。另外，裂项相消技巧常用的通项公式还有：

解：设S=原式 ①

四、整体设元，错位相减

此题解法较多，如可以利用一维图形或二维图形帮助求解；也可以在算式的末尾添加两项：，从倒数第二项起，运用结合律，逐次向前演算。

例9 求1+3+32+33+…+32018的值。

解：设S=原式 ①

则3S=3+32+33+…+32018+32019②

②-①得2S=32019-1， ∴原式=。

五、部分设元，代数演算

六、巧添辅助数，激活乘法公式

例11 计算：(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)×…×(1+22n)。

解：原 式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=……=(22n-1)(22n+1)=(22n+1-1)。

七、借助因式分解，实现连贯约分

解：原式