吴汝萍

两千多年前，《黄帝内经》中提出：“上工治未病”。指的是高明或有远见的医生，往往是在疾病没有蔓延或症候还没有出现的时候就进行及早干预，提前做好防护，防范于未然。同理，数学教学过程中，高明或有远见的教师，能读懂儿童数学认知障碍之源流，防微杜渐，正本清源，有效预防学生数学认知障碍的产生。所以，教师要读懂儿童数学学习过程中的认知障碍，在儿童数学认知障碍处于轻浅状态的时候就进行干预，将可能出现的数学认知障碍消灭在萌芽之中。

一、理解上的难点，易导致数学认知障碍

数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，对以形象思维为主的小学生来说，不管是数学概念的深入理解还是数学技能的熟练掌握，并不是轻而易举的事情。

如学习万以内数被减数中间有零的隔位退位减法，教师虽然在教学过程中详细讲解了每一步的算理及算法，并反复提醒学生注意易错点，但他们遇到此类计算还是经常出错。究其原因是被减数中间有零的隔位退位减法的算理难理解，学生没有真正理解，因而一遇到就错误百出。

这时教师应讲究方法，重视过程，多借助形象直观的方法，让学生自主经历探究的过程，透彻理解算理，明确计算方法。如学习204-108这样的减法时，可以直接请三位学生上台依次扮演百位、十位和个位，表演出204-108的计算过程。经过表演，“死”的数学内容“活”了起来，“静”的数学知识“动”了起来，隔位退位的算理和算法变得有形、有趣、可感、可知。之后，再让学生借助计数器，边拨算珠边说退位的过程。最后，学生用竖式计算时，就能正确写出用竖式计算的过程与结果，计算正确率自然而然就高了。

所以，遇到一些难以理解的數学知识和难以掌握的数学技能，教师要注意从学生的生活经验和已有的知识背景出发，用儿童易于理解的方法组织教学，并注意暴露学生的思维过程，让学生把难理解的地方搞明白。

二、视觉上的误导，易导致数学认知障碍

人的视觉受意识影响，容易先入为主。先入的视觉信息部分进入意识，如冰山一角，而大量的视觉信息在没有意识的情况下被自动处理，相当于冰山下巨大的冰体。用冰山一角来代替整座冰山，必然误导认知，从而出现认知障碍。

二年级学生学习“认识几时几分”时，遇到接近下一个整点的钟面时刻会一而再、再而三地出错。如钟面时刻是5：55，学生很容易误看成是6：55。什么原因呢？因为认读钟面时刻的基本方法是先看时针，再看分针，这时，钟面上的时针几乎是指着6了，视觉上先入为主的强势误导，导致学生误认为是6：55。

针对视觉上的误导导致的数学认知障碍，教师帮助学生有效避免的策略是：让学生三“思”而后“行”。教师要引导学生在解决问题的过程中养成三“思”而后“行”的习惯。如5：55的钟面时刻，看到时针几乎指着6了，细想一下：这个钟面时刻是快到6时，还是已经过了6时？通过观察可知，钟面上的时针再走5分钟才到6时，因而此时的钟面时刻还不到6时，是5时多。5时多多少分呢？再看分针，分针指向11，表示5时过了55分，这样就可以确定这个钟面时刻是5：55。

要培养学生认真学习的习惯，但何谓“认真”？三思而后行，细致考虑到每一个细节就是“认真”的重要内涵之一。如果学生在数学学习过程中养成了“三思而后行”的习惯，很多数学认知障碍就如同无根之木、无源之水而荡然无存。

三、程序上的繁杂，易导致数学认知障碍

儿童学习数学是一个由易到难、由浅入深的建构过程，是逐步完善认知结构的过程，只要走好数学建构过程中关键性的每一步，学生在数学大道上就会越走越宽阔，越走越精彩。

如计算7.98÷4.2这样的小数的除法，只要根据商不变的规律，将被除数和除数转化成整数就完全变成了旧知。但教学过程中发现，学生学习起来非常困难，让很多教师费解。究其原因是教师要求学生必须像教材一样，先在竖式中写出原来的被除数和除数，并在竖式上表示出转化的过程，竖式显得杂乱不堪。相除的过程中，学生确定商的小数点的位置会受到被除数中原先和现在两处小数点所在位置的干扰，时常顾此失彼、错误百出，这就是转化过程中程序上的繁琐杂乱导致的数学认知障碍。

针对过程繁杂导致的数学认知障碍，教师帮助学生有效避免的策略是：变“繁”为“简”。如计算7.98 ÷ 4.2时，可以让学生将转化的过程及转化后的数据标注在横式相关数据的上面，然后直接用转化后的数据列竖式进行计算。这样转化的过程简简单单，竖式上清清爽爽。相除过程中，被除数小数点的位置明明白白地呈现在儿童眼前，儿童确定商中小数点的位置不会受到干扰，就能有效避免上述的数学认知障碍。

数学教学过程中，教师要有求“简”意识，教学内容是简洁、明晰的，教学语言是简练、灵动的，教学过程是简捷、流畅的，教学方法是简单、实用的。让学生感觉每天学习的数学知识都是新而不难，简而不繁，易学易懂，儿童就能轻松快乐、从容自信地去研究数学、探究数学。

四、思维上的泛化，易导致数学认知障碍

这里的“泛化”借用的是心理学家巴甫洛夫经典反射学说中的概念：当某一反应与某种刺激形成条件联系后，这一反应也会与其他类似的刺激形成某种程度的条件联系，这一过程称为泛化。儿童鉴别能力弱，遇到条件相似的数学问题时思维易泛化，这样就容易导致数学认知障碍的产生。

针对儿童思维泛化导致的数学认知障碍，教师帮助学生有效避免的方法是：少点“单一”强化，多点“题组”对比。也就是多通过题组练习，进行强化对比，避免学生盲目“泛化”，并促进学生自觉“分化”，帮助他们实现有效内化。

数学教学过程中，经常会遇到学生将数学的概念、性质、定律、法则、公式、方法等用错地方的情况。究其原因，一般都是受学习过程中思维泛化的消极影响所致。只要教师注意在学生思维易泛化的地方，有针对性地设计一些题组，让学生进行对比练习与思考，就能有效避免儿童在学习过程中因思维泛化而导致的数学认知障碍。

五、心理上的排斥，易导致数学认知障碍

教育心理学研究表明，儿童在学习新知时，需要有一个正确的、积极的心理状态。如果儿童求知欲强，对所学的内容感兴趣，则其学习效率将会比平常高出一至两倍;如果儿童缺失学习动机，甚至排斥所学习的内容，处于不良的学习心理状态中，不仅会严重影响学习的效果，甚至会产生新的数学认知障碍。

如学生刚开始学习列方程解决实际问题时，书上的例题都非常简单，如果教师直接引导学生用方程的方法来求解，学生会比较排斥。因为他们很少用方程的方法解决实际问题，等遇到稍复杂的问题需要用方程解答时，则会无能为力，认知障碍也就产生了。

针对儿童心理排斥导致的数学认知障碍，教师帮助学生有效避免的方法是：变“排斥”为“需要”，让儿童悦纳所学的新知识。如在教学列方程解决实际问题之前，先让学生认识到用方程解决实际问题的优越性、重要性，然后再出示书上例题，让学生明白，现在要借助这个简单问题学习一个高大上的解决问题的方法。将心理“排斥”變为心理“需要”，学生就会全身心投入到学习过程中，积极参与讨论，主动交流所思所想。学生接纳并掌握用方程方法解决问题的六大步骤（找等量关系式、设未知数、列方程、解方程、检验、写答语）后，就会成就感满满。

当变“排斥”为“需要”，变“被动”为“主动”时，学生就能悦纳所学知识，解题能力就会一天天变强，相关的数学认知障碍自然消失得无影无踪。

六、教学上的机械，易导致数学认知障碍

教师是知识的传承者，是思想方法的引路人。教师的思想、行为直接影响着儿童的学习过程和学习成效。如果教师在教学过程中只是习以为常地照搬教材，教材上是什么就教什么，重外在的形式，轻内在的实质，不仅不能促进学生更好地深入地“学”，反而会使儿童学得浅显，学得糊涂。这样必然容易使儿童产生数学认知障碍，阻碍儿童数学认知能力的发展。

比如苏教版《数学》二年级下册“认识几时几分”，教材例题的钟面上，显示8时过了5分，就是8时05分。因为教材中写的是“8时零5分”，不少教师就基于教材上的这个范例，认为这样的钟面时刻，只能像教材这样。而对二年级的学生来说，“零”字笔画太多，学生稍不留神就写成了“8时05分”，或干脆把“零”也丢掉了，写成“8时5分”。老师批阅的结果，当然是个大大的红叉。学生百思不得其解：为什么只能写“8时零5分”？最后只能归结于“数学不讲理”。

不是数学不讲理，而是教师太刻板教条，只知道机械地按教材教。如果认真考究，“8时零5分”是最没有道理的，因为里面的“8”和“5”都写成了阿拉伯数字，“零”理应写“0”才一致，为什么反而要写成“零”？其实，写成“8时05分”或“8时5分”都是可以的，因为它们只是表述、记录某一钟面时刻的具体形式，不会对所记录的时间产生歧义，不影响所表述时间的实际含义。如人教版教材就记录为“8时5分”，北师大版教材记录为“8时05分”。如果教师实在把握不准，可以看看其他版本，可以问问同行，也不至于如此机械教条。

针对教学机械导致的数学认知障碍，教师有效避免的方法是：立足于数学的本质，变“教教材”为“用教材教”。教材只是一个例子，且受呈现形式与版面的局限，里面所蕴含的数学本质需要教师仔细研读。教师要关注数学知识的内在联系，把数学知识的本质属性琢磨明白，变“机械”为“灵活”，变“肤浅”为“深入”，牢牢抓住数学知识的本质组织教学。

教师要尽可能读懂儿童数学认知障碍之源流，研究“正本清源”“妙手回春”之法，长善救失，让儿童在数学认知大道上越走越开心，越走越自信，并且越走越顺，越走越远。

[责任编辑：陈国庆]