摘要：极限概念是高等数学的一个教学难点，如果学生能够从极限定义的语言模型来认识极限，那么就可以突破这个教学难点，并对今后的学习打下坚实基础。

关键词：极限;语言模型;描述性语言;不等式语言;几何语言;等式语言

极限概念是高等数学的一个教学难点，许多学生在学习极限概念遇到困难的主要原因就在于没有建立极限的几种等价语言模型。因此，在教学中梳理清楚极限的几种等价语言模型是有必要的。如果学生能够从极限定义的语言模型来认识极限，那么对突破极限这个教学难点，并为今后的学习打下坚实基础是有益的。

极限的等价语言模型大致可以分為以下四种：1. 描述性语言模型;2. 不等式语言模型;3. 几何语言模型;4. 等式语言模型（或称为极限与无穷小的关系模型）。

下面分别论述四种模型的作用。

一、 描述性语言模型

定义1：对于给定的数列xn，如果当n无限增大（n→∞）时，对应的xn无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列xn的极限，记作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

上述定义只是一种描述性的说明，“xn无限接近于一个确定的常数A”这段描述只是定性，没有定量。因此人们在利用这个定义去判断极限的存在性或对，或不对。例如，当n无限增大（n→∞）时，1n无限的接近于0，所以我们认为limn→∞1n=0。不过用这种观察的方法是不是有可能让人觉得1n+1n+…+1nn-6个也是无限的接近于0呀？其实，后者的极限是1。由此可见，定义1的优点和缺点是一样突出的。

我们利用定义1可以直观观察数列或函数的极限值，但是不能确定结果正确与否。

二、 不等式语言模型

定义2：设有数列{xn}，A为一常数，如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xn-A|<ε都成立，则称常数A是数列xn的极限，或称数列xn收敛于A，记作limn→∞xn=A或xn→A（n→∞）。

定义2解决了定义1的不足之处，即从不等式语言的角度量化描述极限的本质，它可以用来证明极限的存在性。例如：

【例1】证明limn→∞13n=0。

证：由数列极限的ε-N定义知|xn-A|=13n-0=13n，

对于任意给定的正数ε，要使|xn-A|<ε，即13n<ε，3n>1ε，只要n>log31ε即可，故可取正整数N=log31ε。

这即是说，对于任意的正数ε，只要当n>N时，就有：13n-0<ε，即：limn→∞13n=0。

定义2的优点中也蕴藏着缺点，就是ε-N这两个量的确定方法不是每次都很方便，这就需要一定的补充，几何语言就是一种较好的补充方式。

三、 几何语言模型

在几何上，常数A和数列{xn}的各项都可用数轴上的对应点表示。因为|xn-A|<ε相当于A-ε

图1

上述几何解释也可以说成：数列{xn}收敛于A，就是对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，从xN+1开始，后面所有的点都落在A的ε邻域内。

这种语言模型的直观性很好，用它去做一些分析和判断，可以帮助我们利用不等式语言去证明一些极限问题，例如下述定理的证明中取ε=b-a2的依据是从哪里来的？

定理1：收敛数列{xn}的极限是唯一的。

证：设xn→a，xn→b，且a

根据极限定义，对任意ε>0，存在N1，N2，当n>N1，n>N2时，|xn-a|<ε且|xn-b|<ε，即a-εN时，上述两不等式同时成立。但这是矛盾的，因此得证。

其实，利用几何语言模型和图1，可以知道取ε≤b-a2都是可以的。这样就可以突破问题的难点。

四、 等式语言模型（或称为极限与无穷小的关系模型）

人们对等式的感知度是超过不等式的，往往用等式语言揭示极限本质更容易让人理解。

定理2：在自变量的同一变化过程中，limf（x）=Af（x）=A+α，其中α→0。

这种等式语言模型巧妙地把极限的本质描述成一个等式是否成立，如此，在证明极限的存在性时它就可以派上用场了，往往这会比不等式语言优越。例如：

定理3：设limf（x）=A、limg（x）=B，则有如下运算法则：

lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B。

证：因limf（x）=A，limg（x）=B，由无穷小和收敛函数的关系（定理2），应有

f（x）=A+α，g（x）=B+β，

其中，α和β是和f（x）、g（x）同一变化过程中的无穷小。相应地有

f（x）±g（x）=（A+α）±（B+β）=（A±B）+（α±β），

因为α±β是无穷，故得

lim[f（x）±g（x）]=A±B=limf（x）±limg（x）。

可见等式语言比不等式语言真有方便之时。

综上所述，极限的四中语言模型是各有所长的，如果能够在任何时候都选取一套适合的语言解决极限问题，那么我们就能更好地解决极限问题了。

参考文献：

[1]杨凤安.极限定义的剖析[J].黔东南民族职业技术学院学报（综合版），2009（2）.

作者简介：

胡旭东，四川省成都市，四川成都大学信息科学与工程学院。