周琦

[摘  要] 基础教育中数学的核心是思维的训练与抽象模型的建立，其中函数作为初入中等数学中的第一步尤为重要. 透过现象看本质，同样适合于教学，运用生活中可观的现象建立起抽象的模型. 文章以“二次函数”的教学设计为例，展开说明构建抽象的数学模型，也贴近数学核心素养的培养.

[关键词] 核心素养;二次函数;教学设计;数学模型

“二次函数”是苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册第五章第一节内容，本课是在学生已经学习了一次函数概念、反比例函数概念、表达式、图像、性质、应用的基础上来学习二次函数的概念.二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，与反比例函数一样都是非线性函数.同时，二次函数与之前学过的一元二次方程有着密切的联系，进一步学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更深刻地理解“数形结合”的思想.本课的二次函数概念是后续研究二次函数的图像、性质、应用的基础，也为高中进一步研究其他类型的函数做好了铺垫，提供了研究函数的范式，发展了学生数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

（1）从学生的年龄特征和认知结构分析：九年级下学期的学生心理比较成熟，思维方式已从形象思维向抽象思维发展，知识迁移能力和逻辑推理能力迅速发展.

（2）从学生知识技能基础来看：学生已经学习过一次函数和反比例函数的定义、表达式、图像、性质和应用，这套学习函数的范式对学生学习二次函数有良好的引导作用.

（3）从学生数学活动经验基础来看：在之前函数的学习中，学生已具有解决一些实际问题的能力，感受到函数反映的是变化过程，表示两个变量之间的对应关系，对函数表达式的特点也有所了解，同时具备了一定的独立思考、合作交流等能力.

（1）经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子抽象出某些变量之间的数量关系，发展学生数学建模、数学抽象的数学核心素养.

（2）通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义，发展学生逻辑推理的数学核心素养.

（3）通过实例分析，进一步感受二次函数的三要素和变量取值范围的确定.

理解二次函数概念，培养学生数学抽象的核心素养.

（1）理解二次函数概念的形成过程.

（2）根据实际问题抽象二次函数的表达式.

探究式教学.

1. 发现新知，发展学生数学建模的数学素养

问题1：写出下列问题中两个变量之间的关系.

（1）汽车油箱内有油40 L，每行驶100 km耗油10 L，则行驶过程中油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程s（km）之间有什么关系？

（2）南京与上海相距300 km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程用时t（h），则全程用时t（h）与速度v（km/h）之间有什么关系？

（3）水滴激起的波纹不断向外扩展，所形成圆的面积S随半径r的变化而变化，S与r之间有什么关系？

（4）用16 m长的篱笆围成长方形生物园饲养小兔，长方形的面积y（m2） 与长x（m）之间有什么关系？

（5）一面长宽比为2 ∶ 1的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费45元.若镜面宽x m，则总费用y（元）与镜面寬x（m）之间有什么关系？

预设：（1）Q=40-s;（2）t=;（3）S=πr2;（4）y=-x2+8x;（5）y=240x2+180x+45.

问题2：你能将上述的函数关系式分组吗？并说出分组的理由.

预设：（1）一次函数;（2）反比例函数;（3）（4）（5）没学过的函数.

教学分析  生活中大量存在表示两个变量之间关系的情境，有一些能用以前学习的一次函数或反比例函数表示，但更多的已经无法满足这两种函数关系，引出一种新的函数模型.根据新旧知识的联结点，从实际意义出发，写出函数关系式，发展学生数学建模的数学素养.

2. 探索新知，发展学生数学抽象的数学素养

问题3：观察S=πr2，y=-x2+8x，y=240x2+180x+45三个函数关系式，它们在结构上有哪些共同特征？你觉得这种结构特征与我们学过的什么函数类似？

预设1：①左边是因变量;②右边是关于自变量的二次整式.

预设2：类似于一次函数，一次函数左边是因变量，右边是关于自变量的一次整式.

问题4：类比一次函数给具有这种特征的函数起一个名称.

预设：二次函数.

问题5：回顾一次函数的概念.

预设：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫作一次函数（Linear function），其中x是自变量，y是x的函数.

问题6：类比一次函数归纳二次函数的定义.

师生共同得出：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数（quadratic function），其中x是自变量，y是x的函数.

问题7：生活中有许多类似的实例，你还能举出一些二次函数的实例吗？

教学分析  让学生分析函数表达式的特征，大部分学生分析表达有困难，以小组合作的形式互相启发. 通过对一次函数的概念和表达式的回顾、迁移，在新旧知识的对比中，引导学生归纳，师生达成共识得出二次函数的概念和表达式，发展学生数学抽象的数学素养.

3. 探究新知，发展学生逻辑推理的数学素养

问题8：（1）上述三个二次函数解析式中二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？

（2）上述三个二次函数自变量取值范围分别是多少？

教学分析  二次函数是比一次函数更复杂的函数，一次函数由一次项系数和常数项两个常数确定，而二次函数关系式由二次项系数、一次项系数、常数项这三个常数共同确定，它们最高次项的系数都不能为0.通常自变量可取一切实数，但在实际问题中自变量取值范围受到实际意义和条件的限制，需要通过对具体情境的分析得到自变量的取值范围.一则体现对二次函数概念完整性的螺旋式上升策略，二则培养学生严谨的数学思维习惯.

问题9：写出下列函数关系式和自变量取值范围.若是二次函数，请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项.

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系;

（2）写出高为14 cm的圆柱体的体积V（cm2）与底面半径r（cm）之间的函数关系;

（3）矩形纸片长30 cm，宽20 cm，从内部剪去一个边长为x cm的正方形，写出剩余部分面积S（cm2）与x（cm）之间的函数关系.

预设：（1）S=6a2（a>0）;（2）V=14πr2（r>0）;（3）S=600-x2（0

问题10：一次函数的特例是正比例函数，二次函数有没有特例呢？

预设：a是二次项系数不能为0，b或c可以为0，由此得到二次函数三种特殊的形式：①y=ax2（a为常数，且a≠0）;②y=ax2+c（a，c為常数，且a≠0）;③y=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）.

教学分析  概念教学的难点是从抽象概括中进行逻辑推理，类比一次函数从一般到特殊的研究方法，通过对二次函数各项系数能否为0的讨论，得到二次函数三种特殊形式，这是对二次函数形式的深度认识. 同时，这也为研究二次函数的图像、性质提供了从特殊到一般的探究思路，发展了学生逻辑推理的数学素养.

4. 内化新知，发展学生理解数学的素养

问题11：关于x的函数y=（m2+m-2）·x2+（m+2）x+n-1，

（1）m，n满足什么条件时，y是x的二次函数？

（2）m，n满足什么条件时，y是x的一次函数？

（3）m，n满足什么条件时，y是x的正比例函数？

设计意图  通过字母系数取值范围的讨论，主要是各项系数何时为0，何时不能为0，强化概念，有效辨别函数类型.点状知识通过逻辑链系统化、整体化，将二次函数纳入函数系统，这是函数系统的又一次扩充，让学生体验数学概念不能死记硬背，需要在理解的基础上完善自己的函数认知体系，发展学生理解数学的素养.

5. 消化新知，发展学生应用数学的素养

布置课后练习：课本P8习题5.1.

设计意图  二次函数模型是从实际情境中抽象出来的，概括总结归纳后，还要应用于实际.实际问题数学化，再用数学概念、知识解释实际问题，这种相互转化的过程就是数学能力提升的过程，需要学生在课后练习和实际生活中不断体会，反复应用，发展学生应用数学的素养.

6. 体悟新知，发展学生理性思维的数学素养

（1）本课我学习了哪些知识内容？

（2）本课我运用了哪些思想方法？

（3）本课我在哪些数学素养方面得到提升？

（4）课后我还准备对哪些方面进一步研究？

设计意图  引导学生回顾二次函数发生、发展的过程，加深对二次函数的认识，提升数学思想方法的理性认识和相应数学素养的发展.将二次函数纳入函数研究体系，启发学生根据已有学习活动经验从整体性和结构性角度思考后续二次函数的学习内容、探究方式，发展学生理性思维的数学素养.

1. 挖掘核心问题，有效设计

问题是数学的心脏，也是思维活动的起点. 本课设计首先让学生从现实情境中抽象出数学问题，建立模型，在与一次函数的类比中归纳模型特征，并尝试用一般的函数关系式表示，同时得到二次函数描述性定义.但此时，学生对二次函数的认知还停留在函数关系式的表面形式和对函数的已有认知经验基础上，而由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由片面到全面地认识二次函数的本质是本节课的核心问题.所以，在探究新知环节，设计问题串，从函数系统架构的角度思考二次函数的细节问题，这些问题有别于类比函数—— 一次函数，但又与一次函数认识视角相同的共性问题. 随后在内化新知中，为了对二次函数、一次函数、正比例函数的概念进行正确辨析，设置问题，协助学生深度理解二次函数概念的内涵和外延.

2. 发展数学素养，教学相长

本课的重难点是二次函数概念的形成和理解，这个过程是很抽象的，所以在组织教学活动时，鼓励学生用数学的眼光观察世界从中抽象出数学问题，然后用数学的思维思考问题，用数学的语言表达问题，最后用数学的知识解决实际问题.用数学的眼光抽象出数学问题的过程就是根据实际意义运用数学运算写出二次函数关系式，经历数学建模的过程，发展了学生数学运算、数学建模的数学素养;用数学的思维思考问题，是让学生经历思考，根据新旧知识的联结点自然生长知识、方法、经验，运用逻辑推理形成并理解二次函数概念的来龙去脉，发展学生逻辑推理的数学素养;用数学的语言表达问题就是用数学符号语言表达从实际问题抽象出的函数关系式，发现一类新的函数关系形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），满足这样形式的函数关系就是二次函数.同样，二次函数关系一定满足y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），二次项系数、一次项系数和常数项确定了，二次函数关系式就确定了.从具体到抽象，发展了学生数学抽象、理性思维的数学素养;用数学的知识解决实际问题是借助二次函数模型分析问题，透过现象看本质，解决实际问题.虽然这并不是本课的重点，但作为章起始课，要有统领全章的视野，发展学生应用数学的数学素养.培养学生的数学素养，并不是喊喊口号这么简单，教师要有更新教育教学的理念，从数学核心素养的角度重新解读教材，突出教学本质，整合教学资源，设计教学流程，落实核心素养.学生的发展需要教师的引导，教师的成长需要学生促进，在推进数学核心素养的教学中，师生协同共进，教学相长.

立足数学核心素养这一落脚点，挖掘核心问题，精心设计教学环节.当数学的教学回归问题本源，从结构化、整体化、网络化的角度思考数学知识的发生、发展，核心素养的发展便水到渠成.师生是学习共同体，唯有在日常教学中让数学核心素养贴地而行，师生的数学核心素养才能共生共长、落地生根.