广东省广州市天河外国语学校(510630) 许泽然

近日,笔者在高三的一节解三角形最值问题的微专题复习课中,选用了2009年福建卷理科第18题,2011年新课标全国卷理科第16题,2013年新课标卷II第17题和2014年新课标卷I理科第16题,这几道题点燃了学生的思维,课堂上学生给出了很多精彩的解法,理清了问题的本质,收到很好的课堂效果.下面结合笔者的教学实际,谈谈模型化思想下对经典高考题的运用的思考.

一.高考真题,经典再现

题目1(2013年高考新课标卷II第17题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB,

(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

分析易得,又b=2,由余弦定理可得,,又a2+c2≥2ac,故,当且仅当a=c时等号成立.因此,△ABC面积的最大值为.

题目2(2014年高考新课标卷I第16题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为___.

分析由条件(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC得(2+b)(a-b)=(c-b)c,整理得b2+c2-bc=4,即,即.由b2+c2-bc=4,得4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时等号成立..因此,△ABC面积的最大值为.

题目3(2009年高考福建卷理科第18题)如图1,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.

图1

(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;

(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

分析本题第二问最终可转化为在△MNP中,已知∠MNP=120°,MP=5,求MN+NP的最大值.本题既可以用正弦定理转化成角的关系通过三角函数求最值,也可以用余弦定理转化边的关系,利用基本不等式求最值.

题目1和题目2全面考查了三角恒等变换、正弦定理、余弦定……