安徽省灵璧师范学校(234200)陈 伟

在基本不等式中,常常会涉及到两个变量等式,求这两个变量的积或线性和的取值范围问题.本文结合具体实例探究这类问题的基本解题思路.

例1已知x＞0,y＞0且,求x+y的取值范围.

解法1(常值代换)

点评如果已知两个正数和为定值,求其倒数的线性和的取值范围问题,基本的解题思路是常值代换法,展开利用基本不等式求解.

解法2(化为一元函数)由x＞0,y＞0且知,

点评这种解法运用函数与方程思想,把二元问题转化为一元函数,可以用基本不等式,也可以用导数解决.

解法3(判别式)设x+y=t,y=t-x代入整理得x2+(t-8)x+t=0,关于x的一元二次方程有解,于是Δ=(t-8)2-4t=t2-20t+64=(t-4)(t-16)≥0,所以t≤4或t≥16,又由x＞1,y＞9知t≥16,所以x+y的取值范围是[16,+∞).

点评用到换元的思想方法,把问题转化成一元二次方程,用判别式来解决,最后还得结合条件进行取舍.这也是解决这类问题常用的方法.

解法4(配凑法)由知x＞1,y＞9,变形得x+y≥16,所以x+y的取值范围是[16,+∞).

点评这种解法需要对表达进行恰当变形,技巧性较强.

解法5(数形结合)

由x＞0,y＞0且知.平移直线x+y=0且与曲线y=9)相切时x+y取得最小值.令得x=4,求得y=12时,此时x+y取得最小值16,所以x+y的取值范围是[16,+∞).

图1

点评转化成在约束条件下目标函数的取值范围问题,数形结合运用线性规划的基本思想方法.

解法6(向量法(柯西不等式))由于x＞0,y＞0,设向量,则.又由a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉得1+3=,所以x+y≥16.当且仅当向量a与b同向,即x=4,y=12时,x+y取得最小值16,所以x+y的取值范围是[16,+∞).

点评这种解法是根据条件构造两个向量用数量积来求解,实际上是柯西不等式.

变形1已知x＞0,y＞0且.若a,b是正常数……