四川省成都实验外国语学校(611731) 宿晓阳

众所周知,不等式在数学中有重要的地位,无论是国际数学奥林匹克竞赛(IMO)、世界各国(地区)数学奥林匹克竞赛,还是国内各大高校自主招生数学考试,与不等式有关的试题频频出现.原因是不等式有各种难度,具有较强的挑战性,不仅可以很好区分考试的水平,还可以反映考生的数学功底和创新水平.本文将给出几个新颖的含有二次根式的三元不等式.供参考与欣赏.同时为我们的英才教育提供一点新鲜血液!

命题1设x,y,z是正实数,则

其中∑表示三元循环和.

证明在三角形嵌入不等式:x2+y2+中作代换,有:,再由三角形恒等式(其中a,b,c和s为分别为三角形的三边和半周长),设s-a=x,s-b=y,s-c=z,则,于是有

同理

两个不等式相加,得

命题2设x,y,z是正实数,则

证明先证:

事实上,由二元柯西不等式,有

即(2)式成立.

注:由(1)和(2)式,我们得到一个有趣的不等式链:设x,y,z是正实数,则.

命题3设x,y,z是正实数,则

证明由柯西不等式,有

由(4)式知欲证(3)式,即证

证

事实上,(6)式等价于

此不等式显然成立,即(6)式成立,于是(3)式得证.

注:命题3类似于2004mosp不等式:设x,y,z是正实数,则

有兴趣的读者不妨利用上述方法试一试.

命题4设x,y,z是正实数,则

其中∑表示三元循环和.

证明先证:

事实上,(8)式等价于

由二元均值不等式,有

即(9)式成立.所以(8)式成立.同理可证明另外俩式.于是由上述三式相加即得(7)式.

注:命题4强于不等式:设x,y,z是正实数,则

命题5设x,y,z是正实数,则

证明(10)式两边平方,(10)等价于

由排序不等式,有

于是由上式……