安徽省阜阳第一中学(236000) 王青松

安徽省阜阳第四中学(236063) 彭荣进

圆锥曲线试题由于涵盖知识面广(它可以将高中数学中的平面几何、解析几何、不等式、平面向量、函数与导数等知识有机的结合起来),涉及到的数学思想方法灵活多样(如函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想以及特殊与一般思想),是高考的重点考查内容之一,更是高中数学老师热衷于研究的命题之一.

笔者多次参与过大型联考试题的命制,以及通过对近几年高考试题、各地模拟题的研究,总结出一类圆锥曲线试题命制的几种策略,主要分为以下三种:

一、利用椭圆与圆之间的亲密关系命制椭圆试题

在教材选修4-4[1]中,定义了伸缩变换:

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

图1

图2

例如,在圆中有“垂径定理”,即垂直于弦的直径平分弦(也可以叙述为:连结弦中点与圆心所得到的直线垂直于弦),如图1所示:当直线AB和OC斜率均存在时,有kAB·kOC=-1;如果将圆换成椭圆,利用伸缩变换φ就可以得到类似的结论:(此时椭圆方程:.

利用这种亲密关系就命制出了如下的:

题目1(2013年高考新课标I)已知椭圆1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点M坐标为(1,-1),则E的方程为( )

简析设OM,AB的斜率分别为k1,k2,由k1·k2=,所以,故选D.

题目2(2014年高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆……