江苏省灌南中等专业学校(222500) 周如俊

高中数学教学研究类杂志每年都在高考之后,会对一些高考数学试题解法研究以专栏的形式呈现,吸引更多的教师关注、学习、研究与拓展,从而增强期刊内容的深度和力度.本文以一道高考题圆锥曲线定点(定向)问题解法为例,对有关期刊发表的研究论文进行梳理、溯源、整合,并对定点问题解法进行“融合”与“拓展”.

一、试题的溯源

(1)求C的方程;

(2)设直线l不经过P2且与C相交于A,B两点.若直线P2A与P2B直线的斜率的和为-1,证明l过定点.

表1

查阅有关文献,上述高考题最早可能起源于文献[1-2],是在文献[3]相关结论基础上进行组题与命题的(如表1).由文献[3]有关结论简解如下:k1+k2=-1/=0,则直线l恒过定点,即T(2,-1).

表2

阅读近三年有关高中数学教学研究类杂志,大都对上述高考题第(2)问的解法作了专题探究与一般性推广,有关研究结论归类如表2所示.表2呈出的有关结论的推导过程繁杂,表达式形式不一,相互间关联度低,识记难,缺失适用于圆、椭圆、双曲线、抛物线等常态二次圆锥曲线“通法”的求解公式.有的公式或遗漏相关参数,或公式结果有误,或缺失对特殊情况的结果研究.

此外,文[12]虽提出如下两个“试试”的结论,但没有给出证明过程,且该文的“结论1”有误.

结论1定点P(x0,y0)是二次曲线C:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0上的一定点P(x0,y0),点M,N是二次曲线C上异于P点的两点,已知直线PM,PN的斜率kPM,kPN满足条件:kPM+kPN=λ(λ为常数,且λ/=0),则直线过定点.

结论2定点P(x0,y0)是二次曲线C:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0上的一定点P(x0,y0),点M,N是二次曲线C上异于P点的两点,已……