广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

在近几年各地高考中,三角函数最值问题屡屡受到命题者青睐.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解答题所考查的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程).解决这一类问题的基本途径,一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等),另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题.本文就2018年高考全国I卷理科数学第16题,分析出三角函数最值的通法,归纳出三角函数最值的求解的主要五种模型,并举例历年高考题介绍求三角函数的最值.

一、题目展示与分析

题目(2018年全国I卷理科第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值为____.

解析已知f(x)为奇函数,,T=2π,所以fmin(x)=-fmax(x).结合y=2sinx与y=sin2x图像特点知,当时,f(x)可取到最大值.

方法一(求导法)当时,f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1).当时,f′(x)＞0,当时,f′(x)＜0.所以,因为fmin(x)=-fmax(x),所以.所以f(x)的最小值为.如图1所示.

图1

评析用导数法求三角函数的最值是处理此类问题的通法,求导判断函数的单调性,考虑到最大值易于理解与求解,就先求出最大值,再结合函数图像的对称性求出最小值,或许这种方法是命题者的初衷.

方法二(均值不等式法)当时,

评析用均值不等式法求三角函数的最值,先做恒等变换,再适当配凑,然后利用四元均值不等式,算出最大值,再利用原函数图像的对称性转……