江苏省扬州大学数学科学学院(225002) 黄 欢 濮安山

在数学解题中,常常通过增加个别条件不改变原来题意的情况下,令问题易于求解,这就是有效增设解题策略.在高考数学解题中,有效增设发挥着至关重要的作用.下面就以历年高考题为基础,分析有效增设在高考题中的具体应用.

一、进退互化产生归纳增设

数学归纳法加强命题主要有两种情况,一种是将有限项的命题加强为无限项的命题;一种是证明更强的命题.例题1就是第二种情况.用数学归纳法证明更强的命题主要的困难在于第二步假设n=k时命题成立,因为更强的命题具有更强的归纳假设的性质,所以更强的命题便会产生有效增设.

例1(2014年高考江苏卷第23题)已知函数f0(x)=,设fn(x)为fn-1(x)的导数,.

解(1)略;(2)由已知,得xf0(x)=sinx,等式两边分别对x求导,得,即,类似可得.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.

①当n=1时,由上可知等式成立.

②假设当n=k时等式成立(有效增设),即

因此当n=k+1时,等式也成立.结合①②③可知等式对所有的都成立.再令,可得.

评析本题难度较大,步骤②为证明产生归纳的有效增设,加强了命题,使得后续可以运用数学归纳法实施证明.

二、化隐为显产生有效增设

隐含条件是指题目中已包含但没有明确给出的条件.例如,若题目是关于求解三角形的,那就意味着其同时隐藏着三角形的三条边或边与角的关系,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;大边对大角;小边对小角等.

例2(2015年高考江……