安徽省无为第三中学城北校区(238300) 朱小扣

广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

导数是高中数学的重要内容和考点,笔者发现利用两个课本上的两个常用不等式,进行放缩,可以迅速破解导数问题.本文通过探讨其在五类导数题中的应用,以期对同学们备战高考有所帮助.现分析如下,供大家参考.

一、知识点梳理

2个常用的放缩不等式:

(1)指数放缩:ex≥x+1,x∈R,当且仅当x=0时等号成立.

(2)对数放缩:lnx≤x-1,x∈(0,+∞),当且仅当x=1时等号成立.

二、命题规律揭示

1.判断导数的恒正或恒负

例1当x＞1时,ex≥x2+bx+1恒成立.则b的取值范围是____.

解析当x＞1时,ex≥x2+bx+1恒成立.则.令,则0.所以h(x)在(1,+∞)单调递增,故h(x)＞h(1)=e-2,所以b≤e-2.

点评本题解答过程中,通过常用不等式可以迅速判断导数的正负,省去了大量的繁琐讨论,使问题顺利求解.

2.结合变量分离求参数的范围

例2当x≥0时,恒成立,则a的取值范围是( )

A.(-∞,1] B.(-∞,e] C.D.(-∞,0]

解析(1)当x=0时,0≥0,a∈R.

(2)当x＞0时,,由得a≤1.

综合(1)(2)得a≤1(用洛必达法检验也可得到a≤1)故选A.

例3(2016年广东预赛)设函数f(x)=ex-1-x-ax2当x≥0时单调递增,则a的取值范围为____.

解析题设即f′(x)=ex-1-2ax≥0恒成立,当x=0时,对任意a∈R,满足f′(x)=0;当x＞0时,可得,而,所以,综上知a的取值范围为.

点评本题解答过程中,结合使用了分离参数的思想方法,通过两个常用放缩不等式,可以秒杀此类题.因此利用放缩不等式是求参数的范围问题的一大利器.

3.利用桥梁构造两个不等式

例4(2018年衡水金卷)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)有极值点,求证:必有一个极值点在区间(1,3)内;(2)求证:对任意x＞1,a＞-1,有.

证明(1)过程略.

(2)由a＞-1,x＞1,得a+x＞x-1＞0,得,所以.故只需证.只需证

由ex＞x+1(x/=1)且以x-1换x得:ex-1＞x,由lnx＜x-1(x/=0)且以换……