韩广发, 李丕余

(1.江苏农林职业技术学院 基础部，江苏 句容 212400；2.东北大学 秦皇岛分校 数学与统计学院，河北 秦皇岛 066004)

1 预备知识

设(X,T)是一个拓扑空间,A是X的一个子集，A的内部和闭包分别记为intT(A)和clT(A), 在不会造成误解的情况下一般简记为int(A)和cl(A)；子空间A上的相对拓扑记做TA。

在文献[1]中，Njåstad首先引入了半开集的概念；随后，更多的广义开集被引入和研究。这里我们先回忆一些常见的广义开集。设X是一个拓扑空间,A⊂X是X的一个子集。如果A⊂cl(int(A)), 则称A为半开集；如果A⊂int(cl(A)), 则称A为预开集；如果A⊂int(cl(int(A))), 则称A为α-开集；如果A⊂cl(int(cl(A)))，则称A为半预开集；如果A⊂int(cl(A))∪cl(int(A)), 则称A为b-开集[2]。称A是正则闭集，当A=cl(int(A))。由定义可知，半开集、预开集、α-开集都是半预开集，反之未必成立。正则闭集一定是半开集。开集一定是α-开集，α-开集不一定是开集。

开集与半开集、预开集、半预开集的交分别是半开集、预开集、半预开集。Njåstad在文献[1]中证明了一个集合V是α-开集当且仅当V=UN, 其中U是开集，N是无处稠子集。(X,T)中所有的α-开集构成一个拓扑，此拓扑记为Tα。Tα通常比T细。若T=Tα, 则称T为α-拓扑。

2 主要结论

我们知道，拓扑空间X中的一个集合P是预开集当且仅当P可以表示为P=O∩D[3]，其中O是X中的开集，D是X中的稠子集。关于半预开集我们有类似的结论。我们先看2条引理。

引理1[1]设X是一拓扑空间，U是X的一个子集。U是半开集当且仅当存在一个开集O使得O⊂U⊂cl(O)。

引理2[4]设X是一拓扑空间，O是开集，V是X的任意一个子集，则cl(O∩V)=cl(O∩cl(V))。

定理1设X是一拓扑空间，V是X的一个子集，则下面2个论述是等价的：

(1)V是一个半预开集；

(2)V可以表示为U∩D的形式，其中U是半开集，D是X中的稠子集。

证明(1)⟹(2) 设V是一个半预开集，则V⊂cl(int(cl(V)))。令U=cl(V)，由V⊂cl(int(cl(V))) ⊂cl(V)可知U是一个正则闭集，因此是半开集。记D=V∪(XU)。则D是X中的稠子集，并且V=U∩D。

(2)⟹(1) 假设V=U∩D，U是半开集，D是X中的稠子集。根据引理1，存在一个开集O使得O⊂U⊂cl(O)。因为cl(O∩D)=cl(O)，所以有V=U∩D⊂cl(O)=cl(O∩D)⊂cl(U∩D) =cl(V)。注意到V⊂cl(O)=cl(int(cl(O)))，cl(O)= cl(V)，可得V⊂cl(O)=cl(int(cl(V)))。即V是半预开集。

T.Nori等[5]中证明了，若V是(X,T)中的一个半开集，A是子空间(V,TV)中的半开集，则A是(X,T)中的半开集。类似地，我们得到定理2。

引理3[6]设V是拓扑空间X的一个子集，V是半预开集当且仅当存在一个预开集P使得P⊂V⊂cl(P)。

定理2设(X,T)是一个拓扑空间，V是(X,T)中的一个半预开集。若A是(V,TV)中的半预开集，则A是(X,T)中的半预开集。

证明A是(V,TV)中的半预开集，则存在(V,TV)中的预开集P满足P⊂A⊂clTV(P)。因为P是(V,TV)中的预开集，故存在(V,TV)中的开集O和稠子集D使得P=O∩D。因为O是(V,TV)中的开集，故存在(X,T)中的开集O1使得O=O1∩V。

令P′=O1∩D∩int(cl(V))，则P′=O1∩D∩int(cl(V))⊂A。又因为P′=O1∩D∩int(cl(V))=O1∩(D∪(Xcl(V)))∩int(cl(V))，并注意到D∪(Xcl(V))是(X,T)中的稠子集，可知P′是(X,T)中的预开集。注意到O1∩D=O∩D=P以及V∩int(cl(V))是(V,TV)中的稠开子集，则clTV(P′)=clTV(O1∩D∩int(cl(V))=clTV(P∩V∩int(cl(V)))=clTV(P)。可知A⊂clTV(P′)，则必有A⊂clT(P′)，因此，A是(X,T)中的半预开集。

下面的定理3给出了拓扑空间中任意子集的一种分解。

定理3X是一拓扑空间，A是X的一个子集。则A可以表示为A=V∪N，其中V是半预开集，N是无处稠子集，且cl(V)∩N=∅。

证明记V=A∩cl(int(cl(A))),N=AV。

令P=A∩int(cl(A))，则int(cl(P))=int(cl(A∩int(cl(A))))=int(cl(cl(A)∩int(cl(A))))=int(cl(A))，可得P⊂int(cl(A))=int(cl(P))。这表明P是预开集。由于V=A∩cl(int(cl(A)))⊂cl(int(cl(A)))=cl(cl(A)∩int(cl(A)))=cl(A∩int(cl(A)))=cl(P)，故有P⊂V⊂cl(P)，即V是半预开集。

N=AV=A(A∩cl(int(cl(A))))=A∩(Xcl(int(cl(A))))，则int(cl(N))=int(cl(A∩(Xcl(int(cl(A)))))⊂int(cl(A)∩cl(Xcl(int(cl(A)))))=int(cl(A))∩int(cl(Xcl(int(cl(A))))=int(cl(A))∩int(Xint(cl(int(cl(A)))))=int(cl(A))∩(Xcl(int(cl(int(cl(A))))))=int(cl(A))∩(Xcl(int(cl(A))))=∅，即N是无处稠子集，不难说明cl(V)∩N=∅。

K.Al-Zoubi等[2]证明了下面2个定理:

引理4[2]若(A,TA)是拓扑空间(X,T)的一个子空间，则 (TA)α⊂(Tα)A。

引理5[2]若A是拓扑空间(X,T)中的一个b-开集，则(TA)α= (Tα)A。

不难发现b-开集一定是半预开集，但半预开集不一定是b-开集。因此，下面的定理6是引理5(即文献[2]中命题2.11)的一个改进。

定理4设(X,T)是一个拓扑空间，设A是一个半预开集，则有(TA)α= (Tα)A。

证明由引理4可知，我们只需证明(Tα)A⊂(TA)α。

假设B∈(Tα)A，则存在一个V∈Tα，使得B=V∩A。由于V∈Tα，所以存在O∈T和(X,T)中的无处稠子集N0使得V=ON0，则B=V∩A=(ON0)∩A=(O∩A)(N0∩A)。因此我们只需要证明N0∩A是(A,TA)中的无处稠子集。

注意到intTA(clTA(N0∩A))⊂intTA(cl(N0∩A))。下面我们说明intTA(cl(N0∩A))=∅。假设x∈intTA(cl(N0∩A))，则存在一个W∈TA使得x∈W⊂cl(N0∩A)⊂cl(N0)。因为W∈TA，故存在O0∈T使得W=O0∩A。由于A是半预开集，因此存在一个预开集P使得P⊂A⊂cl(P)。不难发现∅≠O0∩P⊂O0∩A=W⊂cl(N0)。由于开集与预开集的交是预开集，即O0∩P是预开集。因此int(cl(N0))≠∅。这与N0是无处稠子集相矛盾，故intTA(cl(N0∩A))=∅。

这样我们证明了N0∩A是(A,TA)中的无处稠子集，进而也说明了B∈(TA)α，故(Tα)A⊂(TA)α。

定理4表明对于半预开集A，(TA)α= (Tα)A始终成立。下面的定理5表明对任意子集A，(TA)α= (Tα)A则不一定成立。我们先看3条引理，其中引理6容易证明，本文略去证明过程。

引理6(X,T)是一个拓扑空间，则下列2个命题是等价的:

(1)(X,T)中任一无处稠子集都是离散的；

(2)(X,T)中任一无处稠子集都是闭的。

引理7[1](X,T)是一个拓扑空间，则下列2个论述是等价的:

(1)T=Tα；

(2)(X,T)中任一无处稠子集都是闭的。

引理8(X,T)是一个拓扑空间，O是X中的开集。若A∈(TO)α，则A∈Tα。

证明假设A∈(TO)α，则A=O0N，其中O0∈TO，N是(O,TO)中的无处稠子集。显然有O0∈T，N是(X,T)中的无处稠子集。因此，A∈Tα。

定理5(X,T)是一个拓扑空间，则下列2个论述是等价的:

(1)对X的一个任意子集A，(TA)α= (Tα)A；

(2)(X,T)是α-拓扑。

证明(1)⟹(2) 假设A是一个无处稠子集。则∀x∈A，(X〗A)∪{x}是一个α-开集。故∀x∈A，{x}∈(Tα)A。因此，{x}∈(TA)α。故单点集{x}必是开集，这就说明A是X中的一个离散子集。由引理6和引理7可知(X,T)是α-拓扑。

(2)⟹(1) 根据定理3，记A=U∪N，这里U是半预开集，N是无处稠子集，并且cl(U)∩N=∅。结合引理7可知，N是子空间(A,TA)的既开又闭的离散子集。设V是(X,T)中的一个α-开集。V∩A=(V∩U)∪(V∩N)。根据定理4，V∩U∈(TU)α。由于U也是(A,TA)一个既开又闭的子空间，因此，根据引理8有V∩U∈(TA)α。V∩N∈(TA)α是显然的。因此有V∩A∈(TA)α。

由于不是所有的拓扑都是α-拓扑，因此任意子集A，(TA)α= (Tα)A不总是成立。

本文主要讨论了半预开集的一些性质，并对文献[2]中的一些结论做了进一步的探讨。由定理5我们可以看出α-拓扑的任意子空间拓扑也是α-拓扑。