臧梓涵

【摘要】概率与随机过程作为数学理论的一部分，在实际生活中有着重大的意义，可以成为许多生活应用的理论基础。本文以一种随机过程一泊松过程及其应用为切入点，进一步推广到纯生过程的性质，对于纯生过程爆炸的条件予以研究与推断。

【关键词】计数过程;独立增量过程;泊松分布;纯生过程;爆炸

一、引言

据美国人口普查局统计，2018年元旦全世界人口总数达到74，4444，3881人。人口的不断增长不免使我们产生担心与好奇：世界的人口在未来的某一天会不会增长到地球无法容下，甚至于无穷，这是一个很难解决的问题。

本文将结合数学中的泊松分布等理论尝试给出解答。先是由基础的随机变量等数学概念引入，随后转向一种特殊的独立增量过程一泊松过程。熟悉其性质后，转向其一般化应用的一种跳过程：生灭过程。再对一种特殊化的生灭过程：纯生过程进行研究，最终从纯生过程的性质分析中得到纯生过程爆炸的条件（即人口增至无穷的条件）。

二、泊松过程

在引入泊松过程之前，我们先介绍随机变量并对其分布和期望的基本性质进行分析。

随机变量：随机变量X的概念，在高中的统计概率部分就已引入了，表示了随机试验各种结果的实值单值函数。它在本质上是定义在样本空间上的一个或离散或连续的函数，对于R的任意子集A，{X∈A}是事件。通过将随机事件的结果用数量化的方式表示，可以更好地分析生活中的随机现象。例如灯泡的寿命，病毒的分裂感染，公交汽车站等车乘客人数等。

概率分布：对于随机变量X称F（X）为X的分布函数。分布函数是单调不减的右连续函数，如果X有离散的概率分布。

数学期望：假设离散随机变量X在点x_j的概率为p_j，如果E（X）=∑x_jp_j存在，则称其为X的数学期望，也就是概率加权平均值。

计数过程：用N（t）表示时间段[0，t]内某类事件发生的个数，N（t）是随机变量。称{N（t）：t≥0}是计数过程。计数过程满足如下条件：

（一）对t≥0，N（t）是非负整数取值的随机变量;

（二）对t>s≥0，N（t）≥N（s），且N（t）-N（s）是时间（s，t]中的事件发生数。

独立增量过程是一种特殊的计数过程，其特点在于在不相交的时间段内事件发生的概率是相互独立的，即不同时间段相互之间无干扰。

泊松过程：波动过程是一个特殊的计数过程，并且称满足下列条件的计数过程{N（t）}为强度λ为的泊松过程：

（一）N（0）=0

（二）{N（t）}为独立增量过程

（三）付任意t，s≥0，N（s，t+s]服从参数为λt的泊松分布，即

泊松过程是一种特殊的独立增量过程，其数学期望与方差均为λt。于是有，是单位时间内事件发生的平均数，入越大，单位时间内平均发生事件越多。泊松过程中两个相继发生的时刻的间隔服从指数分布。

泊松过程是无法画出确切图像的一个计数过程，但它在生活中的应用却较为广泛。许多在一定时间、一定空间范围内的计数过程均可以与其建立直接或是间接的联系，比如停车场的车辆进出、钓鱼过程等的估测，因而对于数据分析也会有所帮助。同时我们还可以由泊松过程的性质进一步推广到更为广泛的跳过程。

三、泊松过程的合并与细分

假设（N₁（t）}和{N₂（t）}是相互独立的，强度分别为λ₁和λ₂的泊松过程，则N（t）=N₁（t）+N₂（t），t≥0，强度为λ=λ₁+λ₂。也就是说两个相互独立的泊松过程是可以合并的。由此推知，多个相互独立的泊松过程可以合并为一个泊松过程。同样的，一个泊松分布可以分解为两个或多个相互独立的泊松过程。

采取较为生活化的说法解释，举例来说，一个商店的前门在t时间段内进入的游客数服从参数为λ₁t的泊松分布，后门在相同t时间段内进入的游客数服从参数为λ₂t的泊松分布。很容易想到，商店在该时间段内进入的总人数也服从泊松分布，强度为（λ₁+λ₂）t。同样的，该合成的泊松过程可以分解为前门、后门的两个泊松过程，强度分别为λ₁和λ₂。

若N（t）是一個参数为λ的泊松过程，ε₁，ε₂…独立同分布的随机变量序列，与N（t）独立，P（ε₁=1）=1-P（ε₁=0）=P。那么和是两个互相独立的泊松过程，参数分别为λP和λ（1-p）。

想象商场中有若干个门时，可以将多个相互独立的泊松过程合并，也可以将一个泊松过程细分成多个，每个人可以有概率地从每个门出去。

四、泊松过程一般化的应用一纯生过程

泊松过程是最简单的连续时间随机过程，在我们的生活中可能不存在如此理想化的过程，因而需要进行一定的一般化与推广，这便提到了生灭过程。而考虑到影响因素较多，我们将生灭过程予以特殊化处理，得到了纯生过程（只出生不死亡的生灭过程）。而关于纯生过程的数学化定义，将在后文中给出。

纯生过程爆炸，可以认为是在有限的时间内让人口增至无穷，换言之，人口达到无穷所用的时间不是无穷而是有限的。我们将在一段时间内生命的降生的每段时间间隔分别设为随机变量ξ₁，ξ₂，…ξ_n类比泊松过程可知ξ_k～Exp（ξ_k）。令S⁰=0，S_n=ξ₁+ξ₂+…+ξ_n，X_t=sup{n：S_n≤t}。则Xt为我们所说的纯生过程。n为满足接连出生的生命时间间隔之和小于等于t的最高上限，即S_n时间内降生的数量。λk越大时，出生n人所需的t（即S_n）越短。那么可能存在一种情况，λ_k可以满足存在τ<∞，使t≥τ时，X_t=∞成立。此时即可认为人口在有限时间内达到了无穷，纯生过程爆炸。

由于τ为S_n单调上升得到，则。若，则Eτ<∞，此时纯生过程不爆炸。反之，若，又由ξ服从指数分布，由指数分布性质，可知。于是由有界收敛定理有=1，即P（τ=∞）=1，此时纯生过程爆炸。

上述证明过程中用到了：1、单调收敛定理，即最终收敛于;2、加和为无穷的非负数列，分别加1后乘积为无穷;3、泊松过程、指数分布的相关性质与积分运算、极限运算。

应用举例：Yule过程，若，则称对应的过程为Yule过程。则

故Yule过程不会爆炸。

【参考文献】

[1]何书元.随机过程[M].北京大学出版社，2008