由斐波那契数列和卢卡斯数列到一般递归数列
2019-05-09姚厚成
姚厚成
【摘要】本文第一部分主要探讨了斐波那契数列和卢卡斯数列的相关性质，并得到了他们和黄金分割比例的关系;在第二部分将第一部分的结论推广到了一般的递推数列中，得到了一般递归数列和黄金分割比例的关系。
【关键词】斐波那契数列;卢卡斯数列;递归数列;黄金分割比例
一、斐波那契数列与卢卡斯数列
（一）斐波那契数列和卢卡斯数列的通项公式
斐波那契数列：若数列{Fn}满足，F1=1， F2=1， Fn+2=Fn+1+Fn，n∈N，则称数列{Fn}为斐波那契数列。
将数列{Fn}配凑成如下形式，
Fn+2+βFn+1=α（Fn+1+βFn）
满足上式的α和β有两组解，分别是
数列是公比为的等比数列，是公比为的等比数列，因此可以得到：
上面两个式子相减得到：
卢卡斯数列;若数列{Ln}满足，L1=1，L2=3，Ln+2=Ln+1+Ln，n∈N，则称数列{Ln}为卢卡斯数列。
类似于斐波那契数列，我们可以得到卢卡斯数列满足，
上面两个式子相减，同样地我们可以得到：
（二）斐波那契数列和卢卡斯数列性质
斐波那契数列和卢卡斯数列有一个重要的性质，该性质和极限有关，下面我们给出这个性质。
其实是著名的黄金分割比例，其和斐波那契数列有着密切的关系。
我们发现斐波那契数列和卢卡斯数列前一项比上后一项的极限都是黄金分割比例。
二、一般递归数列
如果数列{Rn}满足R1=1，R2=1，Rn+2=Rn+1+Rn，我們称{Rn}为一般递归数列。
其实数列{Rn}的通项公式和斐波那契数列有着很大的联系，下面给出该结论。
类似于斐波那契数列的求解，关于数列{Rn}我们有：
上面两个式子相减我们可以得到：
化简可以得到;
其实根：{Rn}与斐波那契数列的关系，我们也可以得到卢卡斯数列和斐波那契数列的关系，
Ln=3Fn-1+Fn-2数列{Rn}相邻两项之比的极限也有一定的规律，下文给出该结论。
1.当时，由可以得到，则我们有：
2.当u=0，v=0时，此时Rn=0，∨n∈N*相邻两项之比无意义。
3.当时，
经过上述讨论分析，我们发现，当数列{Rn}前两项满足时，其相邻两项之比的极限是黄金分割比例;当前两项全为0时，相邻两项之比是无意义的;当相邻两项之比的极限是-，并非黄金分割比例，其实此时数列{Rn}任意相邻两项符号相反。
三、小结
斐波那契数列是一个有着近千年历史的数学理论，到现在还广为流传，本文主要探讨了其和著名的黄金分割比例的关系，并发现斐波那契数列的相邻两项之比的极限为黄金分割比例，并且发现卢卡斯数列也有这个性质，进而将该结论推广到了一般递归数列。
【参考文献】
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[2]徐长林.关于斐波那契毅列及一般递妇数列部分叔限的研究[J].陕西学前师范学院学报，1995（4）：62-64
