徐敬成

[摘  要] 数学建模是为了解决实际复杂问题而采用的一种工具. 新课程改革如火如荼，通过数学建模教学，能够让中学阶段的学生体会到考虑问题的全面性、解决问题的严谨性和思维训练的发散性，促进数学学科核心素养不断提升.

[关键词] 数学建模;新课程改革;教学;中学;核心素养

数学建模是在对实际对象分析并研究的基础上加工提炼出具有替代性质的模型，并运用数学手段进行求解或验证. 其中的数学思维训练主要体现在如何用适当的数学方法对实际问题进行描述、为方便求解论证如何优化数学模型以及如何对模型结果做定性和定量分析三个方面. 在中学教学课程标准的课程理念中明确提出了发展学生的应用意识，要基于教材积极开展数学建模的学习. 这样既能对学生所学知识起到巩固和应用，还能培养学生的学习兴趣、发散思维及实践能力[1]，符合新课改的实质需求，对于素质教育的开展具有重要意义.

数学建模教学的研究背景

素质教育是以提高民族素质为宗旨的教育. 实施素质教育是实现由应试教育向全面提高国民素质教育转轨的迫切需要，培养合乎当前社会和未来发展的需要的人才是现阶段中小学素质教育的根本目标.

《基础教育课程改革纲要（试行）》明确指出，改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能. 改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力[2]. 转变学生的学习方式，突出学生的学习主体地位，提倡自主、合作、探究学习，促进学生在教师指导下主动、生动地学习. 强调学生对于新知识的主动探索和亲身体验，使学生在一個完整、真实的问题情境中产生学习的需要，并通过成员之间的互动、交流、协作来完成对知识意义的建构过程，这样获取的知识易于保持和迁移.

数学建模教学的必要性分析

随着数学学习的深入，对于学生知识的深度、广度和应用的要求上都有了较明显的变化，初高中数学所学到的方程求解、函数思想、几何模型等知识成为孕育数学建模活动的沃土. 许多学生在进行课堂学习的同时，也渴望明了学科知识的实用价值，一定的思维拓展活动显得尤为必要. 如果将数学建模植入课堂，创设一定的情境问题，学生对题干信息做全面、细致、严谨的思考分析，从认知结构中提取有关的知识与方法来解决问题，这样就实现了对数学学习的思维加工活动，巩固并活化了认知结构中已有的数学概念及规律，同时将所学知识进行延伸，拓宽学生的知识面. 运用所学知识来分析现实生活中的现象可以引发学生更浓厚的探求兴趣，提高学生分析、解决问题的能力. 此外将学生在课堂中掌握的内涵与外延适时迁移到应用中去可以在一定程度上改善思维僵化现象，有益于学生学习思维的发散和创造.

数学建模教学说课案例

在高一数学必修1模块《3.1.1方程的根与函数的零点》一课中，通过前半部分学习学生已理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法. 教师讲授完相关知识点后，可以结合数学建模中的“方凳问题”促进学生对函数零点存在性定理的理解[3]. 来源于生活的问题往往很容易抓住学生的注意力，吸引学生享受数学问题研究的乐趣. 采用小组讨论的形式，辅之以层层深入，环环相扣的探问启发引导学生思维，通过对个体的探问引发全体学生的深入思考，同时注重课堂信息及时反馈，并且充分调动课堂积极性. 该部分教学过程设计如下.

（一）创设情境

有一种方凳，四脚连线呈正方形，能否在不平地面上放置平稳？（拿起教室里的方凳进行演示）

学生尝试提炼题干中的文字信息并将其转换为数学语言时需要正确认识数学模型的理想化假设，比如方凳四个脚与地面均为点接触，地面连续变化不存在间断情况（小坑或台阶）.

教师进一步引导学生思考如下问题：没有放稳的方凳晃动时有什么特点？（没放稳时方凳始终有三个脚着地）方凳放置平稳怎样用数学语言描述？（四个脚与地面的竖直距离均为零）按照怎样的规律寻找平稳位置？（相比平移而言，自身旋转成功概率大一些）.

（二）建立模型

教师通过PPT做模型演示：图1（a）中，A，B，C，D分别为方凳四个脚的初始位置，可以发现此时仅A脚离开了地面. 图1（b）中将A，B，C，D沿着其旋转中心O旋转特定角度α得到一个新位置A′，B′，C′，D′，这样做也许可以得到我们想要的平稳位置（需要后续求解验证）.

当定义方凳脚与地面距离时，教师让学生思考：地面被视为连续曲面，随着旋转A，B，C，D四个脚与地面的竖直距离始终是动态变化的，该如何体现这一点？（函数思想，不同旋转角度对应不同位置）再进一步启发：未知量有4个，不确定性较大，是否可以减少未知量？（跟晃动时相对的脚状态一致，可以将A，C两脚与地面的距离之和记为f（α），将B，D两脚与地面的距离之和记为g（α））这样设置未知量有什么好处？（f（α），g（α）均为连续函数且都大于等于零，其中等于零时意味着该组脚不晃动，大于零则表示晃动）

（三）求解论证

（四）深化拓展

拓展可以让学生在已得成果上发挥主观能动性，在思考练习过程中不断熟悉和巩固.

思考若将方凳的坐面改为矩形，上述结论还成立吗？其他形状的四边形呢？为什么？（矩形需沿对称中心旋转180°才能与原形状重合，但两组相对脚只做了互换，原有论证行不通，可以考虑将相邻的脚设置函数，课后思考讨论完成，并要求得到一般性结论：符合中心对称的四边形能在不平地面上放置平稳）

数模教学几点建议

1. 设计数模课程时，应多选择有实际科技背景或与生活联系紧密的现象作为素材，这样既训练了学生的科学思维能力，又能联系生产生活实际，因而具有生命力和价值内涵，必能激起学生的共鸣.

2. 数学建模课程属于拓宽性高、启发性强、难度大的课程. 如果教师在讲授时出现了诸如自身思考问题方式、所用数学方法及处理技巧不当等情况，不能给学生一个清晰的思路，势必造成学生思路混乱，影响学生的理解. 因此只有在对教材进行深入分析的基础上，并能在设计教学过程中考虑到学生已有的认知结构和心理特征的教学方法才是可行的、可靠的.

3. 學生在数字建模活动中有可能出现找不到感觉或者理解偏差等现象，教师适当的引导以及通过相互讨论、检索资料等形式有助于学生消除畏难情绪. 当学生回答不够准确完整，甚至完全卡住时，教师应耐心等待并积极创设转机，并通过适当提示来不断分解难点，对问题做深度的追踪，帮助学生回答. 若学生提供的初步答案虽然正确，但仍然不够深入，或者不够详细，教师的提问技术需偏向于提供额外信息，并做鼓励性点拨，以使学生对问题性质认识周全.

4. 针对学生的认知基础、接受水平、学习能力及思维规律各异，教师需要关注所在班级个体差异，设置不同程度的问题以匹配不同学生，这样可以契合学生的自身差异性发展，增强学生个体的学习信心.

5. 数模教学作为一门探究课，由于对相关知识要求掌握扎实，既可以设计成独立的一节，也可以穿插于以探究性教学为主的课程中. 在习题课中宜较多体现，在新授课中稍做穿插，在复习课和讲评课中较不适宜.

总结

数学建模以理想模型代替实际事物，通过逻辑判断和抽象思维建立概念与规律，这样新颖的思维方式对于数学翻译、逻辑推理、联想迁移和洞察反思四种基本能力的培养大有裨益. 从长远来看有益于思路眼界的开阔、知识结构的改善和综合素质的提高.

广义上来说，每一项数学知识和定理的形成都是建模分析的结果[4]. 将数学建模思想融入学校教育中，有助于学生知识网络的构建以及数学思维的训练，是一类可行的教育方式.

参考文献：

[1]  肖慧. 高中数学教学中数学建模的渗透[J]. 数学教学通讯，2018（27）：45-46.

[2]  基础教育课程改革纲要（试行） [EB/OL]. http：//old.moe.gov.cn/pub licfiles/business/htmlfiles/moe/moe_309/200412/4672.html.

[3]  姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2011：6-7.

[4]  郑大鹏. 数学建模在高中数学课堂的教学策略研究[J]. 数学教学通讯，2017（12）：45-46.