摘要：学习数学中三角形三点共线的性质，即梅涅劳斯定理。还有三角形三线共点性质，即塞瓦定理。学习这两个定理可以对初中的数学学习起到很大帮助，可以帮助我们进行几何中共线、共点、平行、比例等等相关定理的证明。

关键词：梅涅劳斯;塞瓦;共线共点

Menelaus和Ceva定理在数学中用处很大！

可以很容易地解决几何中共线，共点，平行，比例，……以及相关定理的证明等问题。

故有必要介绍一下Menelaus（梅涅劳斯）定理和Ceva（赛瓦）定理

Menelaus定理：1直线截△3边（或其延长线）所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1

Ceva定理：1点与△3顶点所在直线截对边的分点，所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1

这两个定理表达式惊人的雷同。所以把它们合在一起介绍。

先来介绍起点，终点，分点。

如：线段AB（从A到B）A→B，点A为起点，点B为终点。

线段BA（从B到A）A←B，点B为起点，点A为终点。

当点C在线段AB所在直线上时，把点C叫线段AB的分点。

点C可能在线段AB内（内分），也可能在线段AB外（外分）。

一般不考虑点C与A，B重合的情况。如下图：

情况1

情况2

情况3

在△ABC中，一般按照字母顺序循环排列，如图：

如A→B→C→A，

在线段AB中，点A为起点，点B为终点。

在线段BC中，点B为起点，点C为终点。

在线段CA中，点C为起点，点A为终点。

现在再来看看Menelaus（梅涅劳斯）定理中截△的直线。

该直线可能在三角形外，也可能在△上，还可能在△内。

這三种情况都是差不多的。我们先看看该直线在△内的情况。

该直线在△内可能过顶点，也可能不过顶点。

这两种情况也差不多。现在看该直线在△内不过顶点的情况。

如图：直线DEF截△ABC三边分别于D，E，F。

在线段AB中，点A为起点，点B为终点，点D为分点（内分）。

在线段BC中，点B为起点，点C为终点。点F为分点（外分）。

在线段CA中，点C为起点，点A为终点，点E为分点（内分）。

根据：（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1由此可得：ADDB×BFFC×CEEA=1

有了以上基础，现在再来看看Ceva（赛瓦）定理：

一点与△的三顶点所在直线截对边一分点，所得的（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1

这点可能在△内，也可能在△上，还可能在△外。这三种情况都差不多。现在介绍该点在△外的情况。

如图：点D在△ABC外，

AD交BC于E（外分），

BD交CA于G（外分），

CD交AB于F（内分）。

在线段AB中，A为起点B，为终点，F为分点（内分）。

在线段BC中，B为起点C，为终点，E为分点（外分）。

在线段CA中，C为起点A，为终点，G为分点（外分）。

根据（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1可以得到：AFFB×BEEC×CGGA=1

现在证明：Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）定理的正确性。

Menelaus（梅涅劳斯）定理：一直线截△3边（或其延长线）

所得（起点到分点线段分点到终点线段）总积=1

如图：直线DFE截△ABC三边分别为D，E，F，

求证：ADDB×BEEC×CFFA=1。

欲证：ADDB×BEEC×CFFA=1，连接BF，DC。由面积公式得：

①S△ADFS△BDF=ADDB②S△CDFS△ADF=CFFA③S△BDFS△CDF=0.5DF×点B到DF距离0.5DF×点C到DF距离=BEEC

由此可得：ADDB×BEEC×CFFA=S△ADFS△BDF×S△BDFS△CDF×S△CDFS△ADF=1

现在来看看Ceva（赛瓦）定理的证明。

Ceva（赛瓦）定理：

一点与△的3顶点所在直线截对边一分点。所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1

如图：点D在△ABC外，AD交BC于E，BD交CA于F，CD交AB于G。

求证：AGGB×BEEC×CFFA=1

证明：由图可知：直线DGC截△ABE于G，C，D三点。

由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得：AGGB×BCCE×EDDA=1

再由图可知：直线FDB截△CAE于F，D，B三点。

由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得CFFA×ADDE×EDBC=1AGGB×BEEC×CFFA=1

上下两式相乘得：AGGB×BCCE×EDDACFFA×ADDE×EBBC=1

经过化解整理得：AGGB×BEEC×CFFA=1问题得以证明。

现在来看看Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）逆定理

Menelaus（梅涅劳斯）逆定理：在△三边上取三分点（要求1或3个外分点）。

如果所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1那么：这三分点共线。

Ceva（塞瓦）逆定理：在△三边上取三分点（要求0或2个外分点）。

如果所得的（起点到分点线段分点到终点线段）的总积=1

那么：这三分点与所对顶点构成的三直线共点（或平行）。

现在来证明Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）逆定理

Menelaus（梅涅劳斯）逆定理：

如图：在△ABC中，D内分AB于D，E内分BC于E，F外分AC于F，且：ADDB×BEEC×CFFA=1。

求证：D，E，F三点共线。

证明：假设D，E，F三点不公线。延长FE交AB于G。（G内分AB）

由假设得：直线FEG截△ABC于G，E，F

由Menelaus（梅涅劳斯）定理可得：AGGB×BEEC×CFFA=1

比较已知ADDB×BEEC×CFFA=1可得：AGGB=ADDB→AGGB+GBGB=ADDB+DBDB→ABGB=ABDB→GB=DB，由于G，D都内分AB，故G和D重合。

由于G，E，F共线，所以D，E，F三点共线。问题得证。

现在来证明Ceva（塞瓦）逆定理

如图：E内分AB于E，F外分BC于F，G外分CA于G，且：AEEB×BFFC×CGGA=1。

求证：AF，BG，CE三线共点。（或平行）

证明：设AF和CE相交于D，连接BD交CA于H。（BDH共线）

由图可知：在△ABC中，AD交BC于F（F外分BC）

BD交CA于H（H外分CA）

CD交AB于E（E内分AB）

由：Ceva（塞瓦）定理可得：AEEB×BFFC×CHHA=1

比较已知AEEB×BFFC×CGGA=1可得：CHHA=CGGA→CH+HAHA=CG+GAGA→CAHA=CAGA→AH=AG。由于H，G都是CA的同向的外分点。

所以H与G重合，B，D，H共线，故B，D，G共线。

因为AF，CE交于D，故AF，BG，CE三线共点。

特别的：当AF和CE的交点D在无限远处（也就是AF∥CE）。

此时AF∥BG∥CE。限于篇幅证明从略。

知道了Menelaus（梅涅劳斯）和Ceva（塞瓦）定理及其逆定理。对于解决有关共线、共点的性质以及共线、共点的判断，比例线段，以及相关的几何定理的证明问题等有很大的帮助。

可以解决诸如判断△三垂线共点，判断△三角平分线共点，判断△三中线共点等诸多问题。

现在出四道关于这方面的题：

1. 已知：AM为△ABC中线，过M的直线交AB于D，交AC于E。

求证：AB×DEAD×EM=定值。

2. 已知：BE为△ABC内角平分线，AD为△ABC外角平分线，CF为△ABC外角平分线。

求证：直线AD，BE，CF共点。

3. 求证：不等边△的三条顶角的外角平分线与对边所在直线的三交点共线。

4. 求证：过圆内接△的三顶点做该圆切线与对边相交的三交点共线。

作者简介：

刘勰佺，四川省內江市，四川省内江市东兴区新庙小学。