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基于数学建模素养的《正态分布》教学设计

2019-01-17王咪咪

西部论丛 2019年2期
关键词:正态分布曲线建模

素质教育在传授知识的同时,更加注重能力的培养。数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。高中生面对实际背景丰富的问题往往无从下手,这就需要在教学中渗透方法,引导学生在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,并运用所学知识求解模型。

1 内容解析

正态分布是高中阶段唯一一种连续型分布,课程安排在离散型随机变量及其分布之后,是概率知识的重要组成,又是统计学的基石,在数学、物理、工程等领域应用广泛。

正态分布的教学中要把握以下几个问题:(1)服从正态分布的随机变量的特征;(2)正态分布密度曲线的特点;(3)正态分布的特点。

2 教学目标

(1)观察高尔顿板试验,分析数据分布的特点,建立钟形曲线的直观印象。

(2)理解正态分布密度曲线函数解析式的由来,借助图形分析曲线特点,理解两个参数的含义。

(3)能运用正态分布解决一些简单的问题。

3 教学问题诊断

在高中阶段推导得出正态分布密度曲线有难度,因而需要考虑学生的情况,设置合理过渡帮助学生理解。对于该部分内容的考察不会设置很难的题目,应还原正态分布曲線密度曲线的形成,注重学生数学建模素养的培养。

4 教学过程设计

4.1 情境引入,发现问题

问题1 生活中我们习以为常的偶然现象中往往存在着必然规律。因为各种偶然因素而最终聚在一个班的我们,身边又有什么必然现象呢?列出在课前收集到的全班同学身高数据,如何分析身高的分布情况?

设计意图 对于实际问题,可以用数学方法建立模型,描述其特点。引导学生画频率分布直方图分析数据,总结数据的分布特点:中间多,两边少。让同学们列举生活中同样具有这样形态特点的现象,激发学生的好奇心,去积极探索偶然现象中的必然规律。

4.2 讲授新知,分析问题

问题2 达尔文的《物种起源》问世后,他的表弟高尔顿(Galton,1822-1911)同时也是生物统计学派的奠基人,尝试用统计方法研究遗传进化问题,设计了一个叫高尔顿板的装置模拟这种现象。

装置介绍:如图1所示,一块木板上钉着若干相互平行且相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃。

让小球从上方通道口落下,与层层的小木块碰撞,最终落入下方的某一球槽中。打开高尔顿板试验模拟器,运行后模拟结果如图1所示,引导学生建立横、纵坐标,继续使用频率分布直方图来分析小球分布情况。

设计意图 正态分布的模拟需要大量数据,课堂上不好实现,高尔顿板是一个很好的载体。对数学史进行简单介绍,增强学生学习兴趣,有利于主动参与解决问题。对于数据特征并不明显的实际问题,我们也可以寻找切入点,合理建立分析模型,实现数学化,运用所学,转化为已知问题。

问题3 如果在高尔顿板试验中,增加小球数量,试验结果会呈现什么特点?如何分析小球的分布?在使用频率分布直方图时,应该做怎样的调整?

设计意图 对于直观看到的实际问题,使学生熟悉数学化的方式,养成数学建模分析问题的习惯。学生对于正态分布密度曲线的得到是教学难点,结合试验演示,观察实验数据分布变化特点,合理引出,理解曲线与频率分布直方图之间的联系。

问题4 结合刚才的分析,正态分布密度曲线有什么特点呢?

设计意图 让学生把握正态分布密度曲线的特点:

(1)位置:轴上方,与轴不相交;

(2)对称性:单峰,关于直线对称;

(3)峰值:在处达到峰值;

(4)曲线与轴之间的面积:1.

(5)参数和对曲线的影响:

问题5 如果去掉高尔顿板底部的球槽,并沿其底部建立一个水平坐标轴。用表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,是随机变量吗?是离散型随机变量吗?落在区间的概率是多少?

设计意图 通过这些问题的思考,数学模型进一步细化,使学生理解连续型随机变量与离散型随机变量的不同,在某点处的概率值为0。在大量重复试验中,随机变量落在某个区间的频率可以近似等于相应概率,即对应区间曲边梯形的面积,可以用已经学过的定积分来求:

接下来便可以引出正态分布的数学定义:

一般地,如果对于任何实数,随机变量满足

则称随机变量X服从正态分布。正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作。如果随机变量X服从正态分布,则记为。

在完成这一步之后,可以对德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855)与正态分布的渊源予以介绍,相关数学史内容的添加使得数学课堂更加丰满。

问题6 什么样的随机变量服从正态分布?

设计意图 数学源于生活,用于生活。通过对高尔顿板试验特点的分析,总结服从正态分布的随机变量的特点,使学生体会到数学给我们生活带来的巨大便利,数学建模素养能帮助我们理清思路、化繁为简。

4.3 小试牛刀,巩固所学

某地区数学考试的成绩服从正态分布,其密度函数曲线如图所示。

(1)指出和;

(2)计算的值;

(3)计算成绩位于区间的概率,即的值;

(4)计算的值;

(5)若,求的值;

(6)计算的值。

设计意图 通过具体问题的解决,进一步了解正态分布的特点,能够简单运用。

4.4 课堂小结,回顾感悟

(1)理解正态分布密度曲线和正态分布的特点,会简单运用正态分布解问题。

(2)对于生活中的实际问题,观察特点,建立数学模型,运用已学知识进行数量化分析,掌握分析问题的思路和方法,才能更加受益无穷。

5 教学反思

《正态分布》涉及知识点较多,如果不注重新知引入,将无法在学生现有水平下将概念本质渗透,学生脑海中所接收到的信息呈现出碎片化的特点,不利于理解及应用,而且不利于学生学习数学兴趣的培养。

本节课在知识考察上难度不大,在教学中应注重能力培养,而不仅仅是知识传授。数学建模素养能帮助我们剖析问题的特点,将实际问题数学化,利用数学的方法来分析问题。为促进学生对于知识的整体把握,还可补充与正态分布与二项分布之间的联系。

作者简介:王咪咪(1992.1—),女,陕西渭南,陕西师范大学数学与信息科学学院,2017级硕士,学科教学(数学)。

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