福建省三明第一中学 朱安全 罗市斌

高中数学的核心素养包括数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算以及数据分析，是高中生必须要掌握的数学技能。变式就是通过变换同类事物非本质特征的表现形式，或者变更观察事物的角度以突出事物本质的一种研究问题的方法。因此，变式教学就是教师有目的、有计划地通过变换问题中的条件或结论、变化观察事物的角度等途径揭示知识本质的教学方法，这对于帮助学生掌握知识规律、形成一定的数学思维，进而发展数学核心素养具有一定的作用。因此，本文将从以下几点阐述如何通过变式教学培养学生的数学核心素养。

一、概念变式，培养数学抽象能力

数学抽象就是透过事物的物理属性得到数学研究对象的思维过程。数学抽象这一核心素养对于帮助学生正确理解数学概念、把握数学本质以及形成基本的数学思维具有一定的作用，数学概念是学生理解数学本质以及解答数学问题的关键，但由于学生本身理解能力不足，学习经验欠缺，再加上教师没有掌握合适的教学方法，导致学生在理解、记忆以及应用概念时常常出现错误。所以针对以上问题，教师可以开展变式教学来帮助学生准确理解、深刻记忆以及正确应用概念，以夯实学生的数学基础，培养学生的数学核心素养。

例如：在学习“椭圆”的概念时，我通过以下步骤进行变式教学：

1.变式引入：考虑到椭圆和圆具有一定的相似性，所以我用“类比变式”的方法进行引入。首先我用图钉、绳子、粉笔等工具画一个圆，然后让学生回忆圆的定义，接着我将一个圆心变成两个焦点，在学生的帮助下再画一个椭圆，并让学生找到画椭圆过程中不变的量，并尝试描述椭圆的概念。而学生描述概念的这一过程，正是通过椭圆的物理属性探析其数学本质的思维过程，进而锻炼学生的数学抽象能力。

2.变式表征：为了进一步深化学生对椭圆的认识，我让学生根据椭圆的概念用不同的形式表示椭圆，比如以集合的形式表示，并进一步引导学生以方程的形式表示。这也需要学生通过椭圆上点和焦点之间的物理关系来抽象出椭圆的数学本质，

3.变式辨析：学生在理解、记忆椭圆的概念时难免有所疏漏，比如常常将概念记为“平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫椭圆”，所以我便将标准概念隐去重要条件进行变式设疑：设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M 满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M 的轨迹是？大部分学生脱口得出“M 的轨迹是椭圆”的答案。于是我便让学生画图验证，学生这才发现错误，并在椭圆的概念中加上重要条件“常数大于|F1F2|”。

由此可见，在椭圆概念教学中，教师合理运用变式教学法，不仅可以强化学生对概念的理解，同时也可以通过引导学生根据椭圆的物理特征抽象其数学本质的过程，培养学生的数学抽象核心素养，从而实现高效的数学教学。

二、一题多变，发展直观想象能力

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。这一核心素养对于提升学生数形结合的能力、引导学生发现数学问题的本质以及培养学生的创新思维具有一定的效用。所以在数学几何教学中，教师可以采取“一题多变”的教学手段，从而深化学生对知识本质的理解，提高学生的直观想象能力。

例如：在学习《圆和圆的位置关系》一课时，我便带领学生进行变式训练，首先我选取一道较为基础的题目作为例题：已知圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4 与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1 外切，则ab的最大值为？

这道题考查学生对外切圆特点的掌握，学生可以通过圆心距等于两圆半径之和得出即（a+b）2=9，然后再根据基本不等式可知当且仅当a=b 时等号成立，故而ab 最大值为然后我将问题进行如下变式：

变式一：已知圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4 与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1 内切，则ab 的最大值为？

变式二：已知圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4 与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1 相交，求公共弦所在的直线方程。

变式三：已知圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4 与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1，若两圆有四条公切线，则直线x+y-1=0 与圆（x-a）2+（y-b）2=1 的位置关系是？

变式四：两个圆C1：x2+y2+2ax+a2-4=0（a ∈R）与C2：x2+y2-2by-1+b2=0（b ∈R）恰有三条公共切线，则a+b 的最小值为？

变式五：已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M、N 分别是圆C1、C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为？

变式六：设m、n ∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0 与圆（x-1）2+（y-1）2=1 相切，则m+n 的取值范围是？

以上题目都是通过变换条件或问题的方式对例题进行变式，且题目难度由浅及深，可以让学生循序渐进地进行学习。其中，变式一、二是针对原题中“两圆外切”这一条件进行变式，它需要学生掌握两圆相切、相交时各自对应的特点；其中，变式四的条件“两圆有三条公共切线”是“两圆外切”的另一种说法，学生在想象两圆的三条公共切线时自然可以想到这一点。而变式三则考查学生对两圆相离的认识，变式五、六则进一步加深了难度，需要学生熟练使用数形结合的思想方法进行画图解答。在解答以上问题的过程中，学生需要不断在头脑中变换图形的位置关系，并据此建立形与数的联系，从而找到问题的本质。所以说在数学几何教学中，教师实施变式教学，是帮助学生由浅及深地理解并熟练运用数学知识以及锻炼学生直观想象能力的有效方法。

三、变式解题，锻炼数学运算能力

在数学教学中，除了要加强基础知识的教学，教师还要注重对学生解题技巧的培养。教师可以引导学生变更观察问题的角度和方法，充分利用现有的知识、经验和数学技能寻找多种解题方法。通过这一过程，可以让学生在尝试多种解题途径的过程中强化对其运算能力的锻炼，进而培养学生的数学运算核心素养。另外，还可以拓展学生的解题思路，丰富学生的解题方法，从而有效提高学生的解题能力和数学综合水平。

例如：在学习“函数”的相关知识时，我们遇到了如下问题：求函数的值域。学生一开始使用判别式法解题，即设则x2-yx+1=0，然后由Δ=y2-4 ≥0 得出y ≥2，之后进行一番分析得出值域。而后我鼓励学生从不同角度思考问题，寻求多种解题方法。最后，学生又到找“单调性法”“配方法”以及“基本不等式法”，并针对每一种方法给出了详细的步骤，其中不等式法的步骤最为简单：从而得出F（x）有最小值2，继而得出值域。在这一过程中，可以开拓学生思维，帮助学生掌握多种解题技巧，从而提高学生的解题能力。除此之外，学生还需要根据函数、方程和不等式的特征进行大量的运算来验证自己的想法，进而有效提升学生的数学运算能力，促进学生数学核心素养的提升。

总之，在高中数学教学中，教师可以结合教学内容的特点和学生的认知水平开展变式教学，以帮助学生掌握知识的本质和规律，锻炼学生的思维品质，并有效发展学生的数学核心素养，从而提升学生的数学综合能力，进一步实现高中数学教学目标。