配方法
2019-01-10
北京市中学数学特级教师，现任教于北京市第十二中学;教育部课程改革“全国先进工作者”，教育部“国培计划”全国中小学教师培训、班主任培训、校长培训特邀主讲专家，受邀为教育部“国培计划”做有关数学课堂教学、班级管理、教师专业成长等专题报告多场;在《教育研究》《中国教育学刊》《数学教育学报》《数学通报》等学术期刊上发表论文500余篇，其中100余篇被中國人民大学复印报刊资料《中学数学教与学》《中小学教育》全文转载;已出版个人专著《高中数学思想方法及应用》《高考数学命题规律与教学策略》《让高中生学会学习》《高慧明数学教学实践与研究》（丛书）等多部，应邀主编、参编教材和教学著作30余部。
高慧明
配方法是对数学式子进行定向变形（配成“完全平方”），通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化的解决数学计算问题的方法，是初中、高中数学教学中比较常用且重点的方法之一。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式[（a+b） 2]=[a2+2ab+b2]。灵活运用这个公式，可得到各种基本配方形式，例如：[a2+][b2]=[（a+b） 2]-[2ab]=[（a-b） 2][+2ab];[a2]+[ab][+b2]=[（a+b） 2]-[ab]=[（a-b） 2][+3ab]=[（a+b2） 2]+[（32b） 2];[a2]+[b2]+[c2]+[ab]+[bc]+[ca]=[12][（a+b） 2+（b+c） 2+（c+a） 2];[a2]+[b2]+[c2]=[（a+b+c） 2]-2（[ab]+[bc]+[ca]）=[（a+b-c） 2]-2（[ab]-[bc]-[ca]）=……以及[a3]+[b3]+[c3-][3abc=]（[a+b+]c）[12][（a-b） 2+（b-c） 2+（c-a） 2]等。
结合其他数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，例如1+sin2α=1+2sinαcosα=（sinα+cosα）
配方法在解决分解因式、化简求值、确定代数式的最值、证明等式、解方程有关问题、解决二次函数有关问题、解决与解析几何有关的问题时有着广泛的应用。
如：已知长方体的全面积为11，12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 。
A.2[3] B.[14] C.5 D.6
这是一道用配方法化简求值的题目。解决的关键是将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。具体而言，就是先将所给的题设和所求都转换为数学表达式，将其配凑成两个已知式的组合形式，然后设长方体的长宽高分别为[x]，[y]，[z]，由已知“长方体的全面积为11，12条棱的长度之和为24”而得：
[2（xy+yz+xz）=114（x+y+z）=24]
长方体所求对角线长为[ x2 + y2 + z 2 ]= [（x+y+z） 2-2（xy+yz+xz）]=[62-11]=5，所以选B。
再如：已知抛物线[y2]=[2px]（[p>0）]，过动点[M（a，0）]且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点[A]、[B]，[AB]≤[2p]。⑴ 求[a]的取值范围;⑵ 若线段[AB]的垂直平分线交[x]轴于点[N]，求△[NAB]面积的最大值。
这是一道与解析几何有关的问题。直线和圆锥曲线位置的研究一般使用 “设而不解，整体思维”的方法，弦长公式只有用配方法，才能用韦达定理整体处理。依据题意，巧设直线[AB]所在的方程为 [y]=[x-a]与[y2=2px（p>0）]联立化简，有[x2]-2（[a+p）][x]+[a2]=0。由直线与该抛物线交于不同的两点[A、B]，则[4（a+p） 2]-[4a2][>0]，解得[a>-p2]。设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，用配方法和点在直线上表示弦长[AB = 2（x1，x2） 2-4x1x2 = 2（2a+2p）2-8a2]=[8p（2a+p）≤2p。]因为[4ap+2p2≤p2]，[4ap≤-p2]，所以[p>0];因为[a≤-p4]，则AB的垂直平分线为[y-][y1+y22]=[-（x-a-p）]，即[y-p=-（x-a-p）]。令[y=0]，[x=a+2p]， 则[N（a+2p ，0）]，[△NAB]的高[h=][a+2p-a2=2p2=][2p=2p，]则[S△NAB=128p（2a+p）2p=2pp][2a+p=2p2ap+p2，]而[a≤-p2]。由一次函数的单调性可知，[a=-p2]时，[△NAB]最大值为[2pp2-p22=2p2]。
值得指出的是，配方法的配方形式灵活多样，应用时要对问题进行认真分析，合理地恒等变形可使问题化难为易。
责任编辑 姜楚华
