张文雅

摘要：本文介绍了考试大纲对均值不等式的考查要求和应用均值不等式求最值时的条件，同时还结合例题介绍了应用均值不等式求最值的三种常用方法：推广结论公式法、换元法、最值取等。

关键词：均值不等式;一“正”二“定”三“等”;推广公式;换元化归;最值取等

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2018）19-077-1

教育部考试中心发布的《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》，对于均值不等式的要求：掌握两个和三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。即指以下两个不等式：x+y2≥xy，x+y+z3≥3xyzx、y、z∈R+①（当且仅当这些正数都相等时，取“=”号）。使用时，常需变形为一边是纯粹的“和式”或“积式”[1]。

一、运用均值不等式求最值时的条件

运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”。即：（1）要考虑字母或字母的组合是否为正的;（2）考虑相应的和（或积）是否为定值;（3）要考虑等号成立的条件。

二、应用均值不等式求最值的常用方法

1.推广结论公式法

两个和三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，两个和三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，两个和三个正数的几何平均数不小于它们的调和平均数。公式如下，其中②式称为平方平均数，③式称为调和平均数。

x2+y22≥x+y2≥xy≥21x+1y②

x2+y2+z23≥x+y+z3≥3xyz≥31x+1y+1z③

當且仅当这些正数都相等时，取“=”号。②式和③式，考纲虽不要求，但可作为中间结论，化繁为简。②式易证从略;③式的第一个不等号与第三个不……