刘骐玮,马彦恒,李根,董健

(陆军工程大学 石家庄校区，河北 石家庄 050003)

0 引言

信号波达角(direction of arrival, DOA)估计在雷达探测，信号分选，空间定位等领域有着广泛的应用。经典的子空间类方法首次实现了超分辨测向，例如多重信号分类法[1](multiple signal classification，MUSIC)、旋转不变子空间法[2](estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT)等，但存在快拍数不足或存在相干信号源的情况时，信号子空间和噪声子空间的相干性较大，这类方法在此种情况下性能下降较快。

近年来，压缩感知理论结合阵列信号处理受到了广泛的重视。由于信号在空域上具有稀疏性，满足了稀疏重建理论的基本条件，利用随机采样矩阵便可以达到用较低采样率恢复和重建信号的目的。比较典型的算法有基于匹配追踪的算法，基于L1范数的凸松弛约束约束算法[3-4]，还有基于稀疏贝叶斯学习的估计算法[5]。匹配追踪算法运行速度快，但是精度较差；凸松弛约束约束算法利用稀疏解求解问题，精度较高，但是运算量较大；基于稀疏贝叶斯学习的算法在鲁棒性上、适应性上较强，但是计算量较大。

根据压缩感知[6]理论，在DOA估计之前，需要建立过完备字典，其中的每一个元素称为原子。在做DOA估计时，只会输出每个原子的值，而当信号不位于原子网格上时，把这个信号称为离格信号。离格信号的出现会导致原有的经典压缩感知算法性能严重下降。文献[7]提出了在对导向矢量泰勒分解的基础上，利用交替下降的最小二乘法实现重建。但是利用到混合范数约束，计算量较大。文献[8]研究了在误差模型下的稀疏谱拟合(sparse spectral fitting with modeling uncertainty，SSFMU)，同样存在计算量大的问题。文献[9-11]在贝叶斯推理的基础上降低了计算量，但近似误差的存在限制了算法的精度。

为解决上述理论存在的问题，本文基于压缩感知理论提出了一种基于导向矢量正交分解的离格信号DOA估计算法。算法对接收数据协方差矩阵进行KR(Khatri-Rao)积变换[12-13]并构建稀疏重构模型，同时基于信号导向矢量与其一阶导函数矢量间的正交性构建了新的离格信号导向矢量模型，算法先通过稀疏重建找到距离离格信号最近的原子然后采用最小二乘法对离格信号的网格偏离量进行估计。在构建稀疏重建模型时，利用ILSSE(iterative least-squares subspace estimation)算法[14]精确估计噪声协方差矩阵，提高了稀疏重建的精度。

1 信号模型

假设有M个阵元的均匀线阵，为了消除方位模糊，阵元间距d=λ/2。有远场窄带信号K(K

X(t)=A(θ)S(t)+N(t),t=1,2，…,N，

(1)

由阵列输出数据可以得到协方差矩阵为

R=E[X(t)·XH(t)]=A(θ)·Rss·AH(θ)+O，

(2)

Rss=E[S(t)·SH(t)]=diag(σs)，

(3)

y=vec(R)=[A*(θ)⊙A(θ)]σs+vec(O)=

GB(θ)σs+vec(O)，

(4)

式中:⊙表示Khatri-Rao积，即

GB(θ)=A*(θ)⊙A(θ)=
(a*(θ1)⊗a(θ1),…,a*(θK)⊗a(θK))，

(5)

式中：⊗表示Kronecker积;G∈C(M2×(2M-1))为选择矩阵，表示为

G= [vec(JM-1),…,vec(J1),vec(J0),

(6)

(7)

并且B(θ)=(b(θ1),b(θ2),…,b(θK))∈C(2M-1)×K，b(θk)为2M-1维的导向矢量，可以写为

(8)

1.1 稀疏重建模型

令uk=sinθk，入射角的范围为θk∈[-90°,90°],可知任意入射角θk对应唯一的正弦值uk，可知uk∈[-1,1]。因此过完备字典在正弦空间[-1,1]上进行等间隔划分也可以估计θk，相同的原子个数下，相比在角度域[-90°,90°]范围内进行等间隔划分，正弦空间均匀网格划分对在角度域[-45°,45°]范围内有更多的原子数量，因此在该范围内对信号DOA的估计精度也更高。把值域为[-1,1]正弦空间等间隔划分为Q份，即u=(u1,u2,…,uQ)，Q≫M,式(4)可以被改写为

y=GB(u)r+vec(O),

(9)

(10)

利用稀疏重建理论时，O的估计精度和β的取值对稀疏矢量r的估计都有着重要的影响。

1.2 噪声协方差矩阵的估计

(11)

加性噪声白噪声N(t)的协方差矩阵通常采用式(12)估计：

(12)

按以下步骤进行迭代循环：

(4)k=k+1；

(5) 当|f(k+1)-f(k)|≤γ迭代停止，输出O。

其中D′{·}表示仅保留对角线元素，其余元素为0。

ILSSE算法迭代次数通常到达10次时即可收敛，因此额外增加的运算量相较式(10)进行稀疏重建要少的多。采用ILSSE算法能得到更加精确的噪声协方差矩阵，从而提高式(10)进行稀疏重建的精度。

1.3 误差门限的选取

Δy～AsN(0M2,1,W)，

(13)

(14)

式中：Asχ2(M2)为具有M2个自由度的渐近卡方分布，因此可以将式(10)的凸优化问题转化为最小L1范数问题：

(15)

2 离格信号DOA估计

2.1 离格信号模型

(16)

式中：

(17)

可以看出向量b(ukl)和向量c(ukl)具有完全相同的基，因此b(ukl)和jδkc(ukl)是完全正交的，因此离格信号的导向矢量可以作如图1所示正交分解。

式(16)修正为

(18)

式中：αk为离格信号导向矢量在临近原子b(ukl)向量上的投影分量。

根据式(9)，离格信号的协方差模型可以表示为

y=G[B(u)diag(α)+C(u)diag(δ)]r+vec(O),

(19)

式中:δ=(δ1,δ2,…,δQ)T，α=(α1,α2,…,αQ)T，C(u)=(jc(u1),jc(u2)…,jc(uQ))。

基于式(19)的稀疏重建是一个非凸优化问题，很难直接求解，下面给出一种基于最小二乘估计的分步求解方法。

2.2 网格偏离量求解

由于b(ukl)和jc(ukl)是正交的，b(ukl)向量上的系数diag(α)r可通过最小二乘法求解，即

diag(α)r=[GB′]+[y-vec(O)],

(20)

式中：[·]+表示“[·]”的广义逆矩阵；α=(α1l,α2l,…,αKl)T。

网格偏离量δ在已知diag(α)r的基础上，通过最小二乘法求解，即

δ=[GC′diag(diag(α)r)]+·
[y-GB′diag(α)r-vec(O)]，

(21)

式中：C′=(jc(u1l),jc(u2l)…,jc(uKl))，r=(r1l,r2l…,rKl)T，δ=(δ1l,δ2l,…,δKl)T。

K个离格信号在正弦空间DOA的估计值为

(22)

式中：u=(u1l,u2l,…,uKl)。

2.3 算法运算量分析

为直观表现算法性能，本文选用经典的L1-SVD[3]算法和具有代表性的离格信号DOA估计算法OGSBI[9]算法进行对比。L1-SVD算法运用CVX凸优化工具箱进行重建每次迭代的运算量约为O(K3Q3)，OGSBI算法每次迭代的运算量为O(MQ2)，本文所提算法中，ILSSE算法迭代次数一般不超过10次，运算量相对稀疏重建而言可以忽略，稀疏重建时每次迭代的运算量约为O(Q3)，介于L1-SVD算法和OGSBI算法之间。

3 仿真分析

本节通过Matlab仿真对本文所提算法进行仿真分析，选用L1-SVD算法和OGSBI算法进行比较。仿真采用阵元数为10，阵元间距为半个波长的均匀直线阵，噪声为0均值的加性高斯白噪声。前3个仿真中，过完备字典在正弦空间划分的网格间距均为0.01，同时所有仿真中离格信号的DOA均为正弦空间的入射角。为衡量算法对离格信号DOA的估计性能，选用均方根误差(RMSE)作为评价指标，其中仿真2到仿真4的均方根误差取以10为底的对数表示。

均方根误差的定义如下：

(23)

仿真1噪声协方差矩阵估计方法对非离格信号DOA稀疏重建精度的影响。

2个非相关入射信号的DOA分别为0.14和0.46，信噪比从-5 dB步进到5 dB，步进长度为2 dB，快拍数为300，分别采用MinE和ILSSE 2种方法估计噪声协方差矩阵O，并根据式(15)进行稀疏重建，蒙特卡罗仿真次数为500。统计分析DOA估计的RMSE结果如图2所示。

图2表明，噪声协方差矩阵的估计方法对式(10)稀疏重建的精度由较大的影响。采用ILSSE方法估计的DOA更准确，极大地提高了基于KR积变换的稀疏重建算法在低信噪比下的估计精度。

仿真2不同信噪比下的离格信号DOA估计精度分析。

2个非相关离格信号的DOA分别为0.143和0.587，信噪比从-5 dB步进到51 dB，步进长度为4 dB，快拍数为300，每个信噪比下进行500次蒙特卡罗仿真，统计分析L1-SVD,OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估计的RMSE如图3所示。

从图3中可以看出3种算法的RMSE曲线都随着信噪比的增加而降低，但由于离格信号的DOA不位于预先划分的原子网格上，因此L1-SVD算法在信噪比达到10 dB时RMSE曲线就不在下降，此时仍存在较大的估计误差，因此L1-SVD算法并不适用于对离格信号的估计。本文算法和OGSBI算法RMSE曲线可以随着信噪比的增大而持续下降，在高信噪比下对离格信号DOA有较高的估计精度。OGSBI算法由于在求解网格偏离量时采用了近似算法来降低运算复杂度，在高信噪比下存在固定的估计偏差，当信噪比增大到一定程度时，RMSE曲线不再下降。相较OGSBI算法，本文所提算法在不同的信噪比下均有更高估计精度和更小的固定估计偏差。

仿真3不同快拍下的离格信号DOA估计精度分析。

2个非相关离格信号的DOA分别为0.143和0.587，信噪比固定为10 dB，快拍数从100步进到500，步进长度为100，每个快拍数下进行500次蒙特卡罗仿真，统计分析L1-SVD，OGSBI和本文所提算法在不同信噪比下DOA估计的RMSE如图4所示。

图4表明，由于存在网格误差，L1-SVD算法的RMSE曲线不随快拍数的增加而降低。OGSBI算法和本文所提算法的估计精度均随着快拍数的增加而提高，从曲线的下降速度来看，本文所提算法下降更快，在固定的信噪比下可以用更少的快拍数达到最高估计精度。

仿真4不同网格间距下的离格信号DOA估计精度分析。

仿真时，过完备字典在正弦空间的网格间距Δdg从0.01步进到0.05，步长为0.01，信噪比固定为20 dB，快拍数为300。为使信号在不同的网格间距下有相同的网格偏离量，设定每个网格间距下的信号DOA分别为0.3Δdg和0.6+0.7Δdg。每个网格间距下做500次蒙特卡罗实验得到仿真结果如图5所示。

从图5中可以看出，随着网格间距的增大，L1-SVD算法和OGSBI算法的RMSE曲线明显升高，DOA估计性能迅速下降，而本文所提算法在网格间距较大时仍能保持较高的估计精度，因此本文算法更适用于粗网格划分下的离格信号DOA估计。

4 结束语

本文提出了一种基于导向矢量正交分解的离格信号DOA估计算法，算法对接收数据的协方差矩阵进行KR积变换，并利用ILSSE算法精确估计噪声协方差矩阵，提高了稀疏重构的精度。仿真结果表明，在不同信噪比下本文所提算法对离格信号DOA都有较高的估计精度，同时在网格间距较大时仍能保持较高的估计精度。因此，在不损失估计精度的前提下，可以通过增大网格间距的方式来降低本文算法的运算量。