余建国

我们先来看一道高考题：

过点M（1，1）作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.

分析直线l的方程与椭圆C的方程联立，解得两个交点A，B的横（纵）坐标，利用“M是线段AB的中点”建立齐次方程求离心率.具体实施中，由于中点公式涉及“两根之和”形式，正好使用一元二次方程的韦达定理，简化运算.

解直线l的方程为1），即，代入椭圆C的方程，得，整理得.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，所以.

因为M是线段AB的中点，所以1，即，化简得a2＝2b2＝2（a2-，离心率.

虽然上面的解法中使用了韦达定理已经简化了运算（利用求根公式会更繁复），但还不是最简的！请看下面的解法.

另解设A（x1，y1），B（x2，y2），因为M是线段AB的中点，所以①，②.又A，B在椭圆C上，所以.

这是一种很有意思的解法，它设出了“一堆闹腾腾”的字母（四个方程、四个未知数，倒也匹配），为的是表示“中点”、“直线斜率”和“两点在椭圆上”，而关键步骤是“两式相减，因式分解”！这样“中点”、“直线斜率”的表达式显现出来了，也就找到了我们需要的关系式，解题过程立即变得“平坦静谧”.通常称这种方法为“点差法”，其关键步骤是：设弦两端点的坐标，代入曲线方程，两等式相减，因式分解变形.

变式1过点M（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，若M是弦AB的中点，求直线AB的方程.

解…（同上解），得，即，所以AB的斜率为，直线AB的方程为y＝.

变式2过点M（1，1）作斜率为1的直线l与抛物线C：y2＝2p x（p＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则抛物线C的方程是________.

解设A（x1，y1），B（x2，y2），因为M是线段AB的中点，所以①.又A，B在抛物线C上，所以，.

变式3（课本习题）已知双曲线x2-，过点M（1，1）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使M为线段AB的中点？

解设A（x1，y1），B（x2，y2），因为M是线段AB的中点，所以，②.又A，B在双曲线C上，所以.

两式相减得，（x1+x2）（x1-x2）-③，将①②代入③得，，即2，所以，直线l的方程为y-1＝2（x-1），即y＝2x-1.

图1

我们画个图看看变式3（如图1），奇怪了，直线l与双曲线根本就没有交点啊！所以说没有“万能”的解法，“点差法”还需通过图形或解方程组来检验，即由方程组得2x2-4x+3＝0，Δ＝-8＜0，所以方程组无解，即直线y＝2x-1与双曲线没有交点，这样的中点弦不存在.由此可见，上面的变式1、变式2的解都不太完善，都需要适当形式的检验.

平面解析几何以“算”取胜，题目本身以及为解题引入的字母、符号较多，“闹腾”的局面似乎很难控制，很多同学常常容易被吓倒，不敢下手.事实上，解题的关键是找到这些字母、符号间的内在联系，化繁为简.“点差法”就是这样一种“闹”中取静的解法，使用得当可以简化运算.

思考题

参考答案

点M不在双曲线与其渐近线所夹的区域内时（如图2，包括边界，但不含原点O）.

图2