陈水青

导数在高中数学中是一个很重要的知识点，在高考中有关导数的解答题常考常新，利用导数研究函数的单调性与极值是解决函数问题的重要方法.笔者在教学过程中发现很多同学在解决极值问题时，因对极值的概念理解不透而导致解题错误.

一、认清本质

极值是函数的局部性质，是函数在某点处的值与其附近“左、右”函数值比较的结果.

图1中f（x1）比左、右侧很小范围内的函数值都大，故f（x1）是一个极大值；上图中f（x2）比左、右侧很小范围内的函数值都小，故f（x2）是一个极小值.同样，f（x3）、f（x4）分别是函数f（x）的极大值、极小值.但是f（a）与f（b）不是极值，因为它们不是与其附近“左、右”函数值比较的结果.

图1

二、走出误区

问题：函数f（x）＝x3+1，其导函数f′（x）＝3x2，显然f′（0）＝0，那么f（0）是f（x）的极值吗？

f（x）是 R上的增函数，f（x）在“0”的左侧单调增、在“0”的右侧还是单调增，f（0）比左侧很小范围内的函数值都大，但是同右侧相比，则要小，故f（0）不是极大值；同样，f（0）也不是极小值.

实际上，f′（0）＝0只是反映出在“0”的瞬时变化率为“0”（从图象上可以看出上升速度先是越来越慢，然后又越来越快）.可见，若f′（x0）＝0，x0未必是极值点.

三、实例分析

例函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极值10，求实数a，b的值.

错解f′（x）＝3x2+2ax+b，由题意知f′（1）＝0，且f（1）＝10，即2a+b+3＝0，且a2+a+b+1＝10，解得a＝4，b＝-11或a＝-3，b＝3.

剖析错解中认为f（x0）为极值的充要条件是f′（x0）＝0，实际上f（x0）为极值的充要条件是f′（x0）＝0且x0附近两侧的单调性相反，所以应对求出的结果进行验证：

当a＝4，b＝-11时f′（x）＝3x2+8x-11＝（3x+11）（x-1）.

在x＝1附近两侧的符号相反，即单调性相反（如图2（1））.

图2

所以a＝4，b＝-11满足题意.

当a＝ -3，b＝3 时，f′（x）＝3（x-1）2.

在x＝1附近两侧的符号相同，即单调性一致（如图2（2）），f（1）不是极值.

不符题意，舍去.

所以a＝4，b＝-11.

四、经验总结

1.若f′（x0）＝0，f（x0）未必是极值；f（x0）是否是极值，取决于x0左、右两侧的单调性是否相反，解题时要注意检验其左、右两侧的导数符号是否相反.若f′（x0）≠0，则在x＝x0处肯定没有极值.

2.极值是函数的局部性质，是函数在某点处的值与其附近“左、右”函数值比较的结果，极值点不可能出现在区间（不论开区间还是闭区间）端点处.

3.极值与最值联系紧密，但也要注意其区别.例如求函数f（x）＝x3+4x2-11x+16在[0，3]上的最值.据图2（1）可以看出，在区间[0，3]上，实际上只有一个极值点，且为极小值，故在[0，3]上的最小值就是极小值10，而最大值则是f（0）与f（3）的比较.在注意与区间端点处的函数值比较的同时，也是灵活地根据图象，避免无效的计算，如本题计算最小值时，便不用将f（1）＝10与f（0），f（3）比较.但若将区间扩大至[-2，3]，便需要全面比较了.灵活运用，方为正道.

4.要注意转化.有些题目看起来与极值无关，实际上则由极值把关最关键处.如：已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1，若要f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.由f′（x）＝3x2+2ax+1知，导函数图象开口向上，若Δ≤0，则原函数图象如图2（2），符合题意；若Δ≥0，观察图2（1），则需极小值大于0或极大值小于0即可.