丁 昀

转眼间高中前两年就过去了，如今我已是一名高三学生了.老师在课上经常讲一些问题的解题技巧，部分同学听了以后就去疯狂刷题，但收效甚微，忘了老师指导我们不能只顾埋头拉车，更要抬头看路，即使记得的同学，对具体怎么看路，也表示很迷茫.

在高中数学学习中，我还没有经历过疯狂刷题的阶段，因为我总想着能否尽量少刷题，也能取得较好的成绩.琢磨多了以后，我对老师常说的高考核心知识点的解题方法有了一些想法.利用暑假时间我定下心来整理了部分问题，别说，还真有豁然开朗的感觉.下面就以平面向量的部分问题来谈谈我的感受.

在平面向量问题中，我们经常要用到基底化方法和坐标化方法，但仅仅知道这些是不够的.

例1在△ABD中，AB＝2，AD＝，E，C分别在线段AD，BD上，且AE＝，则∠A＝_________.

解析根据平面向量基本定理，平面内任一向量都可以用一对不共线的向量（基底）来线性表示，利用基底进行运算，即“基底化”，这是我们解决向量问题的“看家本领”.

图1

学习体会：用“基底化”方法解决向量问题，也就是老师上课时经常挂在嘴边的“通法”.根据图形结构，选择合适的基底，直接影响到后续问题计算量的大小，千万不可“乱点鸳鸯谱”，基底的选择体现了我们对问题本质的理解.我的经验是，基底一般选择长度已知的向量、互相垂直的向量或者夹角已知的向量，再把问题中的相关向量用基底表示出来.

例2在矩形ABCD中，，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为________.

解析在该问题中，由于点F的确切位置一开始不明确，我考虑从反过来确定点F的确切位置.平面向量可用基底表示，还可以用坐标表示，由于坐标运算的简便性，“坐标化”也是解决向量问题的最基本方法.

考虑到矩形ABCD的条件，以A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，写出各个需要的点的坐标，解决起来就妥妥的了.

以A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，

图2

学习体会：在整理的过程中，我发现一般只要题目条件中出现了垂直结构，那么不管是求数量积还是其他相关问题，建立直角坐标系后，坐标化解决问题往往比较顺利！在建系的策略上，当图形为矩形、等腰三角形、圆等具有对称结构时可以优先考虑建系.

例3将函数y＝f（x）的图象按向量平移后得到函数y＝的图象，求函数y＝f（x）的解析式.

解析按向量平移表示的含义是函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，向下平移2个单位长度得到的图象.

将原有平移过程反过来，函数y＝中的x用“”替换，再将函数值增加2可得到函数y＝f（x）的解析式，即2＝sinx.

学习体会：函数图象平移应用广泛，而沿向量平移后许多函数可以得到化简的功效，虽然两者是相通的，但我和我的小伙伴们经常傻傻地将两者混为一谈.这个问题本身不是什么难题，但的确困扰了我好长时间，所以印象特别深刻.在理解向量平移的意义后，不妨将向量平移问题转化为图象平移问题，更容易掌握.后来我慢慢体会到，像这类在知识点交叉的问题，厘清概念的本质就显得尤为重要，这是单纯的刷题难以做到的.

你还别说，有了刚才几个问题的整理过程，我对向量问题的处理一下子自信了许多，下面来看一道思考题.

思考题如图所示，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的一点，M，N是直径上关于O对称的两点，且AB＝6，M N＝4，则＝________.

图3

你会用几种方法解这道题呢？

我想到了几种方法，跟大家分享一下：

图4

图5

方法3以O为原点建立直角坐标系，设P（x，y），则，，且点P所在的圆O的方程为，.

图6

方法4将点P运动到圆弧中点（特殊化），然后求，计算方法：

以O为原点建立直角坐标系，则P（0，3），，

图7

学习体会：方法1和方法2是利用平面内的同一组基底来求解，从不同基底方案的选择中，我们可以体会到合理选择基底的重要性.方法3是通过建立坐标系解决问题的，不同建系方案就不再比较了，相信大家都可以轻松搞定.一般来说，对于特殊的图形往往用坐标化的方法更加简捷有效.方法4可以说是跳出了前面常规思路的限制，特殊化后，秒杀问题，体现出思考后的智慧化解题策略.

王国维在《人间词话》中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外.入乎其内，故能写之.出乎其外，故能观之.入乎其内，故有生气.出乎其外，故有高致.”数学学习需要有思考和反思能力，更需要具备举一反三、触类旁通的灵动性，不然就会迷失在茫茫题海中难以自拔.