■河南省商丘市第一高级中学

一、选择题

1.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为( )。

A.60° B.90°

C.105° D.75°

3.某几何体的三视图如图1所示,则它的体积为( )。

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

4.下列结论中正确的是( )。

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

5.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面积的( )。

图1

6.如图2所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1E1=所成角的余弦值是( )。

图2

7.如图3所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )。

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.直线BC∥平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°

8.侧棱长为4,底面边长为 3的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的表面积为( )。

图3

A.76π B.68π

C.20π D.9π

9.某三棱锥的三视图如图4所示,则该三棱锥的表面积是( )。

图4

10.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图5所示,则该四棱锥的体积是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

图5

11.现有以下四个命题:①一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行；③过平面外一点和这个平面平行的直线有且只有一条；④平行于同一个平面的两条直线互相平行。其中错误命题的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

12.在正方形AB1B2B3

中,E,F分别是B1B2,B2B3的中点,如图6所示,现沿着AE,AF,EF把这个正方形折成四面体,若B1,B2,B2三点重合,重合后的点记为B,那么四面体AEFB中必有( )

图6

A.AB⊥平面EFB

B.AD⊥平面EFB

C.BF⊥平面AEF

D.BD⊥平面AEF

13.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )。

A.3 B.4

C.5 D.6

14.如图7所示,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过点M有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交；②过点M有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直；③过点M有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交；④过点M有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行。其中为真命题的是( )。

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

图7

15.正四棱锥S-ABCD的高SO=2,底边长AB=2,则异面直线BD和SC之间的距离为( )。

16.有四个命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面；②若p与a,b共面,则p=xa+yb；③若A,B四点共面；④若P,M,A,B四点共面,。其中真命题的个数是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

17.如图8所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )。

图8

18.如图9所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成角的大小为( )。

图9

19.如图10所示,球O与锐二面角α-l-β的两个半平面相切,两切点间的距离为3,点O到交线l的距离为2,则球O的表面积为( )。

图10

20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是( )。

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

C.三棱锥A-BEF的体积为定值

D.异面直线AE,BF所成的角为定值

21.一个四面体的五条棱长分别为1,1,1,1,2,若该四面体的体积为四面体最多有( )。

A.4个 B.3个

C.2个 D.1个

22.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为( )。

A.150° B.45°

C.60° D.120°

23.如图11所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为上底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为( )。

图11

24.正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,高为3,E,F分别为PC,PD的中点,则异面直线AC与EF的距离为( )。

25.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。则A1B与平面ABD所成角的余弦值为( )。

26.由曲线x2=4y,x2=-4y,以及直线x=4,x=-4围成的阴影部分图形(如图12),绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1,满足的点围成的阴影部分图形(如图13)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则( )。

图12

图13

27.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2 2,侧棱长为4,E,F分别为棱AB,CD的中点,EF∩BD=G。则三棱锥B1-EF D1的体积为( )。

28.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2 3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )。

A.1 B.3

C.2 D.3

二、填空题

29.若正三棱锥的正视图与俯视图如图14所示(单位:c m),则它的左视图的面积为c m2。

30.用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上下底面的半径的比是1∶4,截去的圆锥的母线长是3cm,则圆台的母线长为cm。

图14

31.已知△ABC的平面直观图△AˊBˊCˊ是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为____。

32.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则异面直线D1E和BC1间的距离____。

33.如图15所示,在30°的二面角α-l-β的棱上有两点A,B,点C,D分别在α,β内,且AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=AB=1,则CD的长度为____。

图15

34.如图16所示,将等腰直角三角形ABC沿其中位线DE折成60°的二面角A-DE-B,则直线AB与平面BCDE所成的角的正切值是____。

图16

35.如图17所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥面ABC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点,则二面角C1-BD-C的余弦值为____。

图17

36.已知△AˊBˊCˊ是正△ABC水平放置图形的直观图(Aˊ为原点),若△ABC的边长为2,则CˊAˊ2-CˊBˊ2=____。

37.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作____条。

38.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点,则点A1到平面DBEF的距离为____。

39.如图18所示,O是半径为1的球心,点A,B,C在球面上,OA,OB,OC两两垂直,E,F分别为大圆弧AB与AC的中点,则点E,F在该球上的球面距离是____。

图18

40.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为____。

41.有一个角为30°的三角板,斜边放在桌面内,三角板与桌面成30°的二面角,则三角板最短边所在直线与桌面所成角的正弦值为____。

42.如图19所示,在直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动点P,则△APC1周长的最小值为____。

图19

43.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,CD的中点,则点B到截面AEC1F的距离为____。

三、解答题

44.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,E为CC1的中点,F为BD1的中点。

(1)证明EF为BD1与CC1的公垂线；

(2)求点D1到面BDE的距离。

45.如图20所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中点,问:在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置；若不存在,请说明理由。

图20

46.如图21所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点。

(1)求证:DE∥平面ABC；

(2)求三棱锥E-BCD的体积。

图21

47.图22所示的是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图22所示。

图22

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点,求证:AN∥平面CME；

(3)求证:平面BDE⊥平面BCD。

48.如图23所示,PA⊥面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,PD与平面ABCD所成角是30°,F是PB的中点,点E在边BC上移动。

(1)当E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；

(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF；

(3)当BE等于何值时,二面角P-DE-A的大小为45°?

图23

49.如图24所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a,P为棱A1B上的动点。

图24

(3)在(2)的条件下,求点C1到平面PAC的距离。

50.如图25所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2,D为AA1上一点。

(1)若D为AA1的中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D；

(2)若二面角B1-DC-C1的大小为60°,求AD的长。

51.如图26所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。

图25

(1)求证:MN⊥CD；

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD。

图26

52.如图27所示,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点。如图28,将△ABE沿AE折起,使平面ABE⊥平面AECD,F是CD的中点,P是棱BC的中点,M为AE的中点。

图27

图28

(1)求证:AE⊥BD；

(2)求证:平面PEF⊥平面AECD；

(3)若AB=2,求三棱锥P-CDE的体积。

53.如图29所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长中点。

图29

(1)求证:BC1∥面AB1D；

(2)求二面角A1-AB1-D的大小；

(3)求点C1到平面AB1D的距离。