■河南省商丘市第一高级中学

一、选择题

1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )。

A.α∥βB.α⊥β

C.α、β相交但不垂直 D.以上均不正确

2.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )。

A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶3

3.若一个长方体上的一个顶点所在的三个面的面积分别是2,3,6,则该长方体的体对角线长为( )。

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,斜边AB=2,侧棱AA1=1,那么该三棱柱的外接球的表面积为( )。

A.2π B.3π C.4π D.5π

5.下列命题正确的是( )。

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

6.下列四个命题:①若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线；②若直线a,b相交,直线b,c相交,则直线a,c相交；③若a∥b,则a,b与c所成的角相等；④若a⊥b,b⊥c,则a∥c。其中真命题的个数是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

7.设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是( )。

A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

8.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( )。

9.如果一条直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )。

A.l∥α

B.l⊥α

C.l与α相交但不垂直

D.l∥α或l⊂α

10.如图1所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M 为AC与BD的交点,N为BB1的靠近B的三等分点,若=a,=c,则=( )。

图1

11.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为( )。

A.5 B.41 C.4 D.25

12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ的值为( )。

13.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为( )。

14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=A1A=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )。

15.如图2所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=A1A,则AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为( )。

图2

16.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )。

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

C.若m∥α,m∥β,则α∥β

D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

17.棱长为1的正方体AC1中,E,F分别为AA1和AB的中点,则点E到直线CF的距离为( )。

18.已知二面角α-l-β是直二面角,A∈α,B∈β,设直线AB与α,β所成的角分别为∠1和∠2,则( )。

A.∠1+∠2=90°

B.∠1+∠2≥90°

C.∠1+∠2≤90°

D.∠1+∠2＜90°

19.已知α,β是两个不重合的平面,则在下列条件下,可判定α∥β的是( )。

A.α,β都平行于直线l,m

B.α内有三个不共线的点都到β的距离相等

C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥β

D.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β

20.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )。

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面ABC

D.平面PAE⊥平面ABC

21.如图3所示,在正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P为所在棱的中点,则异面直线MP,AB在正方体以平面PBM为正面的正视图中的位置关系是( )。

A.相交 B.平行

C.异面 D.不确定

22.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两个平面所成的二面角为( )。

A.45° B.135°

C.45°或135° D.90°

图3

24.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°,则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )。

A.30° B.45° C.60° D.90°

25.如图4所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED和EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )。

图4

26.在图5所示的四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )。

图5

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

27.在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=23,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为( )。

A.12π B.32π C.36π D.48π

28.如图6所示,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则下列命题中错误的是( )。

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

图6

二、填空题

29.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为____。

31.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与直线AB,AD,AA1所成的角都相等,则这样的直线l可以作____条。

32.图7所示的是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为____。

图7

33.三棱锥D-ABC的三个侧面分别与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则二面角A-BCD的大小为____。

34.若a=(3x,-5,4),b=(x,2x,-2)之间的夹角为钝角,则x的取值范围为____。

35.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的____(填入所有可能的几何体前的编号)。

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱。

36.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1,3,2,则其外接球的表面积为____。

37.如图8所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小为____。

图8

38.如图9所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD 与平面B1CD所成角的正弦值为____。

39.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1A的中点,则直线BD与平面GB1D1的距离为____。

图9

40.某种乳饮料的外包装是一个四面体,这个四面体的每个面都是腰长为10cm,底边长为6cm的等腰三角形,则该四面体的容积为____cm3。(外包装的厚度与接缝忽略不计)

41.已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB=AC,四边形BCDE为矩形),如图10所示,则该组合体的俯视图可以是图11中的____。(把你认为正确的图的序号都填上)

图10

图11

42.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=1,CC1=2,D为CC1的中点,E,F分别为A1A与AB上的动点,若DE⊥DF,则EF的最小值为____。

43.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为A1B1的中点,有下列五个命题:

②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45°；

③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影,其面积的最小值是；

④AE与DC1所成的角的余弦值为

⑤二面角A-BD1-C的大小为

其中为真命题的是____。(写出所有真命题的序号)

三、解答题

44.已知底面半径为1,高为 3的圆锥,其内接圆柱的底面半径为R。问:当R为何值时,其内接圆柱的体积最大?

45.如图12所示,在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=2SA,点P在SD上,且SD=3PD。

(1)证明SA⊥平面ABCD；

(2)设E是SC的中点,求证BE∥平面APC。

46.如图13所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD,=1,M为PC的中点,N点在AB上,且AN

图12

图13

(1)证明:MN∥平面PAD；

(2)求直线MN与平面PCB所成角的大小。

47.如图14所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点。求证:

(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF。

图14

48.如图15所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD= ∠ADC=90°,AB=AD=1,CD=CC1=2,E为棱AA1的中点,G为棱C1D1的中点,F为棱BB1上一动点。

(1)求证:EG∥平面FCC1；

(2)求三棱锥E-FCC1的体积；

(3)当D1E⊥DF时,求CF与平面EFD1所成角的余弦值。

图15

49.图16所示的多面体是直平行六面体ABCDA1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°。

(1)求证:BD⊥平面ADG；

(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余切值；

(3)求点C到平面AEFG的距离。

50.如图17所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1。

图16

(1)求证:PC⊥AD；

(2)求二面角A-PC-D的正弦值；

(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成角为30°,求AE的长。

51.如图18所示,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图19所示)。当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大?

图17

图18

图19

52.如图20所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点。

(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD；

图20

(3)在(2)的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角MBQ-C的大小。

53.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图21所示的几何体ABCD-A1C1D1,

图21

(1)证明:直线A1B∥平面CDD1C1；

(2)求棱A1A的长；

(3)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积。