■河南省商丘市第一高级中学

空间几何体与球的接切问题,本质是研究几何体的外接球与内切球的半径问题,是高考立体几何选择题或填空题的重要考查内容,不少考生对此望而生畏,也是同学们的易错点,三棱锥的外接球考查尤为常见,错误率也很高,其实球的接切问题是有规律可循的。下面通过一些例题来具体讲解:

一、规则几何体外接球的常见结论

1.正方体与球。

设正方体的棱长为a。

2.长方体的外接球。

长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外接球。设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l,球的半径为

3.正四面体的外接球与内切球。

正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,解得R=

4.直棱柱的外接球。

(1)找出底面多边形(多见于三角形)的外心M,并求出底面外接圆的半径。(三角形外接圆的半径多用正弦定理求出)

(2)过底面的外心M作底面的垂线MN,MN与直棱柱中间截面的交点即为外接球的球心O。

(3)借助底面的任意顶点如A,构成直角三角形AOM,由勾股定理求出AO即为外接球的半径。

5.正棱锥的外接球。

(1)找出底面正多边形的中心M,并求出底面外接圆的半径。

(2)连接底面中心与顶点P,并求出正棱锥的高PM。

(3)由正棱锥的性质得出外接球的球心在高PM上,借助底面的任意顶点如A,构成直角三角形AOM,且AO+OM=PM或者AO-OM=PM,再由勾股定理求出AO即为外接球的半径。

6.一侧面垂直于底面的三棱锥的外接球。

(1)找出底面三角形的外心M,并求出底面外接圆的半径。

(2)找出侧面三角形的外心N,过底面的外心M作底面的垂线,过侧面的外心作侧面的垂线,与底面垂线的交点即为外接球的球心O,且球心O到底面的距离OM即为侧面的外心N到底面的距离。

(3)借助底面的任意顶点如A,构成直角三角形AOM,由勾股定理求出AO即为外接球的半径。

二、三棱锥的外接球例题讲析

例1 如图1,三棱锥S-ABC,满足SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=3,AB=2,BC=3,若O点为三棱锥S-ABC的外接球的球心,则球O的表面积为____。

图1

审题方法：此三棱锥四个面均为直角三角形,可借助长方体求解。

解题思路：取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得OA=OS=OB=OC,所以O点为三棱锥S-ABC的外接球的球心,则外面积为22π。

例2 在三棱锥S-ABC中,SA=BC=3,SC=AB=2,SB=AC=3,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为____。

审题方法：此三棱锥的六条棱均可以看作长方体的六条面对角线。

解题思路：由已知得三棱锥的六条棱是一个长方体的六条面对角线,此棱锥的四个顶点也与长方体的其中四个顶点重合,所以此棱锥的外接球和长方体的外接球一致,由已知得长方体的三个相邻面的面对角线为3,2,3,故外接球的半径为11π。

例3 在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=2,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥的外接球的体积为____。

审题方法：三条侧棱相等的三棱锥,顶点在底面的投影为底面三角形的外心。

图2

解题思路：如图2,过 定 点P 作PO垂直底面于点O,外接球的球心在PO上。在直角三角形POA 中,∠PAO=60°,PA=3,所以PO=3,AO=3。设外接球的球心为H,在直角三角形HOA中,R2=HO2+AO2=(PO-R)2+AO2,计算

例4 已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为23的正三角形,△ABD是以AB为斜边的直角三角形,二面角C-AB-D为90°,则球O的表面积为____。

审题方法：三棱锥中由两个面相互垂直,需找出这两个相互垂直平面三角形的外心。

解题思路：作AB的中点M,连接CM,作CM靠近点M的三等分点O,因为面ABC⊥面ABD,所以O即为外接球的球心,AO即为外接球的半径R=2,所以球O的表面积为16π。

变式训练：已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为23的正三角形,△ABD是以AB为斜边的直角三角形,二面角C-AB-D为120°,则球

审题方法：二面角C-AB-D为120°,需从△ABC与△ABD的外心入手去寻找球心的位置。