摘 要：本文针对学生在《高等代数》课程学习过程中遇到的一类问题，即利用矩阵多项式为零去判定矩阵的特征值和特征值的重数问题。首先利用已有的一些定理给出了特殊情形下的一个结论，然后利用三个逐渐增加条件的例子说明在判定过程中需要我们合理结合题目给出的每一个条件利用所学知识进行解决。

关键词：特征值；特征向量；矩阵

在《高等代数》课程的教学过程中，遇到了很多利用矩阵多项式为零的条件去推断矩阵特征值的问题，看上去类似的题目确有不同的结果。学生经常无法分辨多项式的若干根中哪些是矩阵的特征值哪些不是，以及在确定了特征值之后如何确定其重数。本文将针对这一问题给出自己的一些想法。首先我们给出一些已有的结论。

定理1 设A是n阶方阵，λ是A的特征值，α是A属于特征值λ的一个特征向量，f（x）是一个多项式，则f（λ）是f（A）的特征值。

定理2 相似矩阵具有相同的特征值多项式。

定理3 实对称矩阵的k重特征值恰好有k个线性无关的特征向量。

由定理1可得下面推论：

推论 设A是n阶方阵，λ是A的特征值，α是A属于特征值λ的一个特征向量，f（x）是一个多项式，若f（A）=O，则f（λ）=0。

由上述推論得到下面非常重要的结论：

结论1 对于n阶方阵A而言，如果f（A）=O，那么A的所有特征值一定是多项式f（x）的根。

此结论告诉我们矩阵的特征值一定为多项式的根，但没有告诉我们哪些根是矩阵的特征值，而这一点正是令很多同学困惑的地方。针对这类问题我们利用具体例子来解释。……