汤一

【摘要】傅里叶级数是法国数学家、物理学家傅里叶在研究热过程的解析解时提出的数学工具。作为函数分析的一套重要理论，傅里叶级数对于数学和物理学的发展产生了深远的影响。从数学的观点来看，傅里叶级数实际上是函数空间基函数展开的一个特例，而函数空间与向量空间又有着千丝万缕的联系。在本文中，我们将通过比较向量空间和函数空间的数学结构，建立基向量、基函数与傅里叶级数之间的联系，并从更高的角度去理解傅里叶级数的内涵。

【关键词】向量空间 函数空间 基函数 傅里叶级数

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）37-0130-01

前言：我们生活在一个三维的物质空间。在这个空间中，有很多物理量具有大小和方向的双重属性。比如，物体的位移、速度、动量等等，显然无法用一个数来表征它们的性质。数学上，可以把这些物理量抽象成一个数学概念——向量，并由此定义向量空间。在向量空间中，一个重要的概念就是基向量。下面我们先讨论基向量的数学性质。

1.基向量的数学性质

一般来说，一组基向量要满足正交、归一、完备三条性质。

1.1基向量的正交性

在研究物理问题时，首要的就是建立参考系。我们知道，在建立直角坐标系时，需要引入沿着x， y， z三个方向的单位向量i， j， k，才能将直角坐标系完全确定下来。我们要求这三个单位向量两两之间相互垂直，即要求它们的点积满足：i·j=j·k=k·i=0。对于普遍向量空间的一组基？琢，？茁，？酌…，我们类似要求？……