乔花玲,吴玉梅

(西安财经学院统计学院,陕西西安 710061)

1 引言

分数Laplacian算子(−Δ)s的定义如下:

分数Laplacian算子(−Δ)s及更一般的拟微分算子已经有经典的泛函分析方法研究成果,该算子在连续介质力学、相变现象、种群动态、对策论的研究中常出现,它是Lévy过程的随机稳定的无穷小生成元[2−4].由于分数空间和非局部方程在很多科学领域有着重要应用,在过去的几年里对涉及分数算子问题的研究兴趣仍不断高涨,如障碍问题[5]、优化与金融[6,7]、共形几何与极小曲面[8−10]、材料学[11]、反常扩散[12−14]等方面应用.

设n≥2,s∈(0,1),方程

已经得到广泛的关注.Rox-Oton和Serra[15]建立与(1.1)式相联系的Pohozaev恒等式,并证明了在有界光滑的星型域上,若非线性项f(u)是局部的Lipschitz函数,有不等式

成立,则问题(1.1)没有有界正解,当不等式严格成立时,问题(1.1)没有非平凡的有界解;若在×R的任意紧子集上f(x,u)是Lipschitz函数,有不等式

成立,则问题(1.1)没有有界正解,当不等式严格成立时,问题(1.1)没有非平凡的有界解.Fall和Weth[16]给出了在有界星型域Ω(0∈)上,非线性项f(x,t):{0}×[0,∞)→R在{0}上的每一个子集上关于t是一致局部Lipschitz且在某种意义下是超临界的,则问题(1.1)没有正解,参见文献[16,定理1.1].在无界的星型域上,当时,问题(1.1)没有非平凡解.如果Fang[17]研究了带有纯临界非线性项的Laplacian问题,在空间Ds,2(Rn)上,得出问题(1.1)有无穷多非径向变号解;Gonzalez[18]等讨论了该方程在双曲空间上层解的存在性、对称性;Servadei[19]等发现具有齐次Dirichlet边界条件非局部微积分算子对应的方程有变分结构,利用山路定理证明了其非平凡解的存在性,此结果对……