赵 健,杨丛丽,潘维烨

(贵州师范大学数学科学学院,贵州贵阳 550001)

1 引言

设C表示复平面,H(C)表示在C上的解析函数全体,dA表示C上的Lebesgue面积测度,是由L2(C,e−α|z|2dA(z))中的整函数所构成的空间,0＜α＜∞,即

其规范正交系为

这里‖·‖表示F2的范数.

Cho和Zhu[8]证明了f∈F2,m当且仅当zmf∈F2.因此,F2,m的范数也可以表示为

有关Fock-Sobolev空间的更多研究,可参见文献[9–14].

设T∈B(X),X 是Hilbert空间,称T是X上的Hilbert-Schmidt算子,如果

在本文中M表示一个正常数,每次出现不一定相同.

2 主要结果及证明

为了证明本文的主要结果,需要用到下面的一些辅助结论.

引理2.1设ϕ是C上的解析自映射,µ∈H(C),0＜α＜∞,则为紧的充分必要条件为有界且对中任意有界并在C的任意紧子集上一致收敛于0的序列{fn},n∈N+,有

通过使用类似于文献[21,命题3.11]的方法,可以证明引理2.1.

引理2.2若序列{fn}在中弱收敛于0,则{fn}一致有界且在C的任意紧子集上一致收敛于0.

证由于序列{fn}在中弱收敛于0,则对任意于是

因此存在与z有关的常数Mz＞0,使得|fn(z)|≤Mz,而C是完备的,由一致有界原理可得序列{fn}一致有界,即存在M ＞0,使得设D是C中的任一紧子集,Kz为的再生核,可将Kz看成是C到上的一个映射,且对任意z0∈D,有

显然,当z→z0时,‖Kz−Kz0‖→0,这说明Kz为连续映射,由于D是紧的,故Kz在D上一致连续.因此对任意的ε＞0,存在δ＞0,对任意的z′,z′′∈D,当|z−z0|＜δ时,

由于 D紧,则 D是完全有界的,于是,对上述的 δ,存在 z1,z2,···,zq∈ D,使得 D ⊂由于

因此对上述的 ε,存在 Ni＞ 0,i=1,2,···,q,当任意 n ＞ Ni时,从而取N=max{N1,N2,···,Nq},对任意的z∈ D,一定存在zj∈ D,1≤ j≤ q,使得|z−zj|＜ δ,当任意的n＞N时,有

故{fn}在C的任一紧子集上一致收敛于0.

引理2.3设ϕ是C上的解析自映射,µ∈H(C),0＜α＜∞,则为紧的充分必要条件为有界且对中任意弱收敛于0的序列……