吴美云,唐秋林,罗秀花,姜会玲

(南通大学理学院,江苏南通 226007)

1 引言

通常来讲,要构造一个Hopf代数是件很不容易的事.然而,近年来,很多数学家开始利用箭向来研究代数结构[1−3],得到很多可交换与不可交换的Hopf代数[4−5].我们在文献[6–7]中也借助于箭向构造了群上的大量的Hopf代数.

设G是群,kG是代数闭域k上的一个群代数,则Hopf双模范畴等价于直积范畴C∈K(G)MkZu(C),这里K(G)是群G 的全体共轭类,映射

MkZu(C)表示右kZu(C)模[5,8].2002年,由于数学家Cibils和Rosso引入了Hopf箭向和群的分歧[8],使得利用箭向构造Hopf代数成为可能[5].2008年,张寿全教授等给出了Sn(此时n≠6[9])是完全群时的分歧系统,由此可以构造出一批Hopf代数[10].那么对于非完全群S6,如何构造其上的Hopf代数呢？本文想在这方面做些探讨.

2011年,Andruskiewitsch,Fantino,Grana以及Vendramin研究出对称群上的有限维逐点Hopf代数都是平凡的,且对于对称群S6,其上的一型路Hopf代数都是无限维的[11].所以我们要构造的一型路Hopf代数都是无限维的.

本文约定在代数闭域k上讨论,并且k的特征char(k)≠2.所有代数,余代数,Hopf代数等都在域k上讨论.与Hopf代数有关的概念参见文献[12].

2 非完全群S6的特征标和自同构之间的关系

由于非完全群S6也是置换群,故S6中任意两个元素有相同的共轭类当且仅当它们有相同的循环结构.从而有以下引理.

引理2.1[13]设S6是包含6个元素的集合的全体置换做成的群,Aut(S6)是S6的自同构群,则Aut(S6)=Inn(S6)＜δ＞,其中δ为2阶外自同构.因此Aut(S6)是一个1440阶的群,是S6的内自同构群和一个2阶群的半直积.

由于群S6可由Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}生成,令φ:S6→S6是一个映射,定义

可以验证φ定义了S6的一个外自同……