江苏省苏州工业园区外国语学校(215021) 杨亚楠

真题再现

图1

例(2017年苏州市中考数学第18题)如图1,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B′C′交CD边于点G．连接BB′、CC′,若AD=7,CG=4,AB′=B′G,则=___(保留根号)．

数学眼光

1.问题

本题以矩形为载体考察旋转后对应点的连线的比值.

2.分析

先连接AC,AG,AC′,构造直角三角形以及相似三角形,根据△ABB′～△ACC′,可得到,设AB=AB′=x,则,DG=x-4,Rt△ADG中,根据勾股定理可得方程,求得AB的长以及AC的长,即可得到所求的比值．如果想解决本道题,我们需要有哪些知识储备呢?

图2

(1)矩形的相关概念与性质

矩形概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

矩形性质：矩形的四个角都是直角等.

(2)旋转的相关概念与性质

图3

旋转概念：在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心.旋转的角度称为旋转角.(包括旋转方向)

旋转性质：旋转前、后的图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.

(3)相似的相关概念与性质相似概念：三角分别相等,三边分别成比例的两个三角形相似.相似性质：相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

图4

因此,我们可以根据所求旋转后对应点的连线的比值转化为求两个相似三角形的相似比.

3.解答

图5

解如图5,连接AC,AG,AC′,由旋转可得,AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′,所以所以△ABB′～△ACC′,所以因 为AB′=B′G,∠AB′G=∠ABC=90°, 所 以△AB′G是等腰直角三角形,所以设AB=AB′=x,则AG= 2x,DG=x-4,因为Rt△ADG中,AD2+DG2=AG2,所以72+(x-4)2=x2,解得x1=5,x2=-13(舍去),所以AB=5,所以Rt△ABC中,所以,故答案为：．

4.旋转基本模型

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