浙江省杭州市余杭区瓶窑镇第一中学(311115) 高兴平

每天的课后,笔者总是会布置一道精选的思考题,作为学生的课外拓展,以激发学生学习数学的兴趣,培养和锻炼思维;同时也有利于同学之间的交流和探讨,丰富解题的思路和方法.同学之间的思维碰撞,往往会激发出创新思维的火花.体现在解答中,时常会有老师预设之外的精彩,促进教学相长,使笔者也收获匪浅.

近期布置的一道几何证明题,学生从不同角度联想、思考和求证,思维的灵活性和创造性,解法的多样性让笔者点赞不已.特别是辅助线的添加方法更是充满了平移、轴对称、旋转等图形运动,体现了数学的简洁美、和谐美和对称美.尽管证明过程的辅助线作法中没有使用图形变换的术语,却蕴涵着图形运动变换的思想.现整理出该题的多种证法,交流分享,欢迎指正.

一、试题呈现

图1

二、解法展示

1 移一移,柳暗花明

图2

证法1如图2,延长CA到G,使AG=CE,连结BG.因为N为AE的中点,所以AN=EN,于是AG+AN=CE+EN,即GN=CN,因此N为CG的中点;又因为M为BC中点,所以MN为△BCG的中位线,所以MN//BG;因为CE=AB,所以AG=AB,于是∠3=∠G,所以∠BAC=∠3+∠G=2∠G,即∠G=,由AD为△ABC的角平分线,得因此∠G=∠2,因此AD//BG,所以MN//AD.

评析从图形运动看,“延长CA到G,使AG=CE”实质是将线段CE平移到AG的位置,将线段AB和CE置于同一个三角形中,构造出等腰△ABG,此时N恰好是CG的中点,MN为△CBG的中位线,得到MN//BG,从而柳暗花明把问题转化为只要证明AD//BG,通过平行线的传递性得出MN//AD.思路清晰,证法自然.

图3

证法2如图3,作BG//AD交CA的延长线于点G,则∠1=∠3,∠2=∠G.由AD为△ABC的角平分线,得∠1=∠2,故∠3=∠G,于是AG=AB=CE.因为……