陈长坤，童蕴贺

(中南大学 土木工程学院,湖南 长沙 410075)

人类自有史以来就一直遭受着传染病的威胁，随着社会的发展和医学的进步，传染病的研究和预测已经逐渐成为社会共同关注的课题。传染病流行是在人群中发生的一个复杂扩散过程，对这一过程建立模型，有助于理解传染病的流行机理与内在规律[1]，以模型为基础对传染病流行进行分析和预测，可以为干预措施的选择提供理论依据[2]。

对传染病流动过程建立模型是研究传染病传播的主要方法。传统的仓室模型是根据人群的不同状态，在一定的假设下将人群分为多个仓室，采用微分方程刻画人群状态的变化，其中最为经典的是SIR模型和SIS模型，许多模型都是在这两种经典模型上进行扩展，比如考虑远程感染机制的SIRS模型[3]、考虑传染病潜伏期的SEIR模型[4]及考虑母源免疫的MSIR模型[5]。有些模型在人口动力学方面进行扩展，比如会考虑到人口的出生率与死亡率、时间滞后[6]、人口的年龄结构[7]等，这些模型被广泛应用在SARS[8]、HIV[9]等传染病的研究中。区域内的个体有自己的动力学特性，通过运动与另一个区域发生联系，这个过程称为迁移。不同地区之间因人员移动导致传染病传播的现象非常普遍，研究人口迁移对传染病流行的影响已经引起了广泛关注[10]。WANG等[11]提出一种新的传染病模型来研究传染病在两个区域间的蔓延过程，该模型考虑了个体的扩散性和人口的异质性，研究结果证明易感个体的扩散率不影响疾病的持续和灭绝。SUN等[12]采用带有出生率和死亡率的SI模型研究了感染率和人口迁移对于疾病传播的影响，研究发现在单一区域内感染率过高或过低会使疾病消失，人口迁移对疾病传播有双重影响。

笔者拟采用元胞自动机方法，针对传染病跨区域传播，考虑了区域内传染病传播和区域间人口迁移过程，建立传染病跨区域传播模型，模拟传染病传播过程，分析动态区域位置与面积对传染病跨区域传播的影响规律，以探究人口迁移对传染病跨区域传播的影响机理，为传染病跨区域传播预防和应急处置提供决策支持。

1 模型

1.1 区域内传染病动力学模型

图1 元胞(i, j)的邻域

笔者采用二维元胞自动机方法，假设种群所处的空间是一个长宽均为n、总元胞数目为N的元胞空间，每一个元胞代表一个种群个体，如图1所示，元胞的邻域采用半径为1的Von Neumann邻居，每一个元胞在下一时刻的状态取决于自身及其邻域中的元胞在当前时刻的状态，个体的状态逐步影响到周围邻居，从而导致整个元胞空间的变化。

笔者采用的传染病模型为SIR模型。SIR模型将人群划分为易感者、感染者和免疫(移出)者。易感者(susceptible)指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；感染者(infective)指染上传染病的人，可以传播给易感者；免疫者(recovered)指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。在该模型中，人口总数为常数，即不考虑人口输入和输出，也不考虑人口的出生，传染病传播模式为接触传染，感染率与元胞邻域内的感染者数量有关系。对于任一个体，其邻域内的每一个感染者都有β的概率感染个体，则个体的感染率为1-(1-β)n，n为其邻域内感染者的数量[13]。传染病传播机理如图2所示。

图2 传染病传播机理

采用变量s(i,j,t,k)表示区域k、坐标为(i,j)的元胞在t时刻的状态。当k=1时，表示A区域；k=2时，表示B区域。每个元胞有5种状态：①感染者，感染者以一定的概率γ获得免疫，成为免疫者；以一定的概率α死亡，成为死亡者；②易感者，在其邻域内如果存在感染者，那么其将会以概率1-(1-β)n成为感染者；n为其邻域内的感染者的数量；③免疫者，免疫者不会再受到该类传染病的传染；④空置状态，此状态下元胞未被个体占据，任意的个体在下一时刻可以移动到此位置。⑤死亡者，感染者因病死亡，成为死亡者，该元胞退出程序进程，下一时刻此元胞刷新为空置状态。

个体的移动性是传染病得以传播的必要条件，也是疾病跨区域传播的基础。移动的人口比例足够大或者移动距离较远，会加速疾病的蔓延[14]。笔者采用生态学中人员运动模型“不相关的随机行走”(URW)来模拟人员的随机移动。在URW中，人员以恒定的速度和连续的独立步骤、以同样的概率转向每个方向[15]。模型中设置的移动规则为个体在单位时间步内移动一步，移动距离为1，考虑到现实情况，增加“保持原位”状态。移动方向由邻域元胞的状态决定：当邻域存在闲置状态的元胞时，个体将以相同的概率向闲置状态的元胞随机移动；当邻域元胞全部为非闲置状态时，该个体此时间步不移动。元胞状态的改变(个体的受感染、免疫过程)发生在个体移动之前，个体的状态全部确定后，人员开始移动，个体在各个区域内的移动同步进行。

1.2 区域间人口迁移模型

区域内的个体有自己的动力学特性，通过运动与另一个区域发生联系，不同地区之间因人员移动而导致传染病的蔓延。BROWNSTEIN等[16]采用经验数据评估航空旅行在区域间流感传播中的作用，发现国际航空旅行对流感传染时间和区域流感传播率有重要影响。在传染病的全球传播进程中，航空旅行是人口迁移的一个重要方式，直接影响到传染病的蔓延；而在传染病的区域传播中，铁路、公路等短距离交通运输是人口迁移的主要方式，也是传染病蔓延的原因之一。笔者依据区域不同特性，将每个区域分为动态区域和静态区域，动态区域表征个体可进行跨区域移动的场所，如高铁站或火车站等；静态区域表征个体不可进行跨区域移动的场所，且只在本区域内自由运动。考虑到区域间短距离人口迁移特性，人口迁移遵循以下规则：①当且仅当个体在动态区域内，人口迁移才有可能发生；②考虑到动态区域容量限制，人口迁移为双向迁移，即在每一时间步区域A向区域B迁移一定数量的个体，区域B同时向区域A迁移同等数量的个体；③迁移人口的确定是个随机过程，由程序的随机数确定，不考虑人口的状态(易感状态、感染状态和免疫状态)。当易感者、感染者或者免疫者移动到另一区域时，其本身状态并不发生改变。人口迁移模型示意图如图3所示。

图3 人口迁移模型示意图

对于A、B区域，每个区域内易感者、感染者、免疫者和死亡者的微分方程分别为：

(1)

(2)

(3)

(4)

2 模拟及分析

笔者模拟传染病在两个区域间的传播，设置区域A和区域B，每个区域尺寸为100×100，单位为元胞数，初始人口数为2 000人，每个区域均存在一个动态区域进行两区域间的人口迁移，单位时间步交换人数m为50人，初始感染者仅存在区域A的动态区域内，数量为50人。设置感染率β为0.2，免疫率γ为0.01，死亡率α为0.01。通过改变两区域的动态区域的位置和面积来研究人口迁移对传染病跨区域传播的影响。

2.1 随机过程的影响

该模型涉及到多个随机过程，包括个体的随机移动、动态区域内迁移人口的随机确定及初始个体的随机分布，为了减小随机过程带来的误差，将模拟次数设置为100次，取其平均值。针对同一工况分别模拟1次和100次，观察不同模拟次数下感染密度随时间步的变化情况，模拟结果如图4所示，可以看出，当模拟次数为1时，两次模拟结果的感染密度随时间变化曲线差异较大；当模拟次数为100时，两次模拟结果的感染密度随时间变化曲线几乎无差异，说明当模拟次数为100时，随机过程对于试验结果的影响可忽略不计。其中，感染密度为感染者占总人口的比例。

图4 不同模拟次数下感染密度随时间变化图

2.2 动态区域位置对传染病传播的影响

为了定量研究动态区域位置对传染病传播的影响，引入特征半径概念，用来衡量动态区域位置与区域中心的偏离程度。定义特征半径为该区域内人口以最短路径迁移至中心区域位置所需要的时间步的期望值，用R表示。已知区域尺寸为100×100，将其等分为25个区域块，每一块尺寸为20×20，则最偏远区域按最短路径迁移至区域中心所需期望时间步为80，按此计算，各个区域块总体特征半径分布图如图5所示。

图5 特征半径分布图

图6 不同特征半径下感染密度随时间步变化图

不同特征半径下感染密度随时间步变化图如图6所示，可以看出当动态区域位置不同时，两区域感染密度随时间步变化的规律也不同。在不同的特征半径下，感染密度随着时间步变化都经历了一个先上升再下降最后为0的过程。当特征半径为0时，感染密度最大，最大值达到0.45。随着特征半径的不断增加，感染密度有减小的趋势。将蔓延速度定义为传染病从爆发到最严重时感染密度的变化率，用来衡量传染病的感染速度。将感染峰值定义为感染密度能够达到的最大值，用来衡量传染病的严重程度。蔓延速度和感染峰值与特征半径的关系如图7所示，可以看出随着特征半径的增加，蔓延速度减小，感染峰值先减小后增加。当特征半径为0时，蔓延速度最大，即当动态区域位于中心位置时，传染病最易蔓延。

图7 蔓延速度和感染峰值与特征半径关系图

2.3 动态区域面积对传染病传播的影响

图8 不同动态区域面积下感染密度随时间步变化图

作为联结两区域的唯一通道，动态区域的面积也影响着传染病在两个区域内的传播。为了研究动态区域面积对传染病的影响，保持动态区域位置在区域中心位置，大小分别设置为20×20、30×30、40×40，用L表示动态区域尺寸大小。模拟结果如图8所示，当L=20时，感染密度在时间步为180时达到峰值(0.44)；当L=40时，感染密度在时间步为140时就达到峰值(0.47)。随着动态区域面积的增加，传染病的感染速度和感染峰值也在增加。当L分别为20和40时两区域传染病空间分布图如图9所示，当L=20时，感染者初始分布更为集中，传染病蔓延较慢；当L=40时，传染病蔓延较快，当时间步为100时，已感染区域内绝大部分个体。当动态区域面积增加时，初始患病者的分布更为分散，传染病随着个体的移动和接触传播，较为分散的患病者会形成多个传染中心，极大地加快了传染病在两区域内的传播进程，导致传染病的蔓延速度和感染峰值都增加。

3 结论

为了研究人口迁移对于传染病传播的影响，针对传染病区域间传播，笔者建立了具有移动性和人口迁移的传染病跨区域传播模型，研究了动态区域位置和面积对传染病跨区域传播影响，研究发现：①特征半径是影响传染病蔓延的关键因素，随着特征半径的减小，传染病在两区域内的蔓延速度增加，在更短的时间内达到感染峰值。而且存在一个临界值，使传染病感染峰值最小。特征半径较大时，动态区域与中心偏离程度较大，传染病在A区域的传播以及通过动态区域蔓延至B区域的传播，受到边界的限制，使蔓延速度减小。②随着动态区域面积的增加。传染病的感染速度和感染峰值都增加。当动态区域面积较大时，初始患病者的分布更为分散，较为分散的患病者会形成多个传染中心，极大地加快了传染病在两个区域内的传播进程。

图9 当L分别为20和40时两区域传染病空间分布图