江永伦

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0116-01

不少三角恒等变换类试题，往往我们会做，但总会感觉比较麻烦一些，那么如何实现“优解”就显得非常重要！请看以下归类解析。

类型一、借助“弦切”互化，实施优解

例1：已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）

A.- B. C. - D.

解析：（通解）因为tanθ=2>0，所以角θ的终边在一、三象限，从而讨论如下：

若角θ的终边在第一象限，则由tanθ=2可得sinθ= ，cosθ= ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）2+ × -2×（ ）2=

若角θ的终边在第三象限，则由tanθ=2可得sinθ=- ，cosθ=- ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（- ）2+（- ）×（- ）-2×（- ）2= .

综上，必有sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ，故选D。

（优解）因为sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= = = = = ，故选D。

评注：上述通解需要分情况讨论，显然较繁；而优解较为简捷，但需关注两个常用变形技巧——①将所求式分母中的“1”等量代换为sin2θ+cos2θ；②对分式 的分子、分母同时除以cos2θ，有利于弦变切。

能力提升：处理三角函数中有关弦切混合问题时，有时需要将正、余弦形式全部转化为正切的形式便于求解；反之，有时需要将正切的形式全部转化为正、余弦的形式便于求解。

类型二、借助“换元”转化，实施优解

例2：已知sin（x- ）+ cosx= ，则sin（2x+ ）=_____.

解析：由sin（x- ）+ cosx= ，得 sinx- cosx+ cosx= ，所以 sinx+ cosx= ，所以sin（x+ ）= .

接下来，有两种不同的思路：

方法一：（通解）sin（2x+ ）=-cos[ +（2x+ ）]=-cos2（x+ ）=2sin2（x+ ）-1=2×（ ）2-1=-

. 方法二：（优解）设x+ =θ，则x=θ- ，sinθ= ，所以sin（2x+ ）=sin（2θ- + ）=sin（2θ- ）=-sin（ -2θ）=-cos2θ=2sin2θ-1=2×（ ）2-1=-

评注：上述通解的难点在于灵活选取诱导公式加以适当变形（尽管书写过程看起来似乎简单一些）；而优解在“换元”基础上，整个思路比较流畅、自然，故值得关注！

能力提升：处理有关三角函数求值问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，借助“换元”的形式，有利于进一步分析、解决问题。

类型三、借助“加减”变形，实施优解

例3：已知tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），且sin2（α+γ）=5sin2β，则实数m=_____.

解析：（通解）因为tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），

所以 =m· .

为了便于书写，记tan（α+γ）=a，tanβ=b，则 =m· ，变形整理可得 = · . ①

因……