侯晓丽 李永凤

【摘要】求解微分方程是常微分方程课程中非常重要的内容，求解过程中难免会出现增失根问题。本文对增失根的原因进行了深入的讨论，并给出了一些有益的建议。

【关键词】常微分方程 增根 失根

【基金项目】本文由“郑州轻工业学院第三批青年教师教学改革与研究项目”、“郑州轻工业学院第十一批教改项目”资助。

【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0107-02

在常微分方程中，相当一部分内容就是求微分方程的解，例如：一阶显式微分方程的求解、一阶隐式微分方程的求解、高阶线性或非线性微分方程的求解、一阶线性微分方程组的求解以及求微分方程的求解等，求解过程中不可避免的会做变量替换，或对方程两边积分或求导等运算，都会产生增根或失去方程的某个根，尤其是非线性微分方程，没有固定的解法且求解过程相对复杂，更易产生增失根问题。本文对几类常见的微分方程的增失根问题进行分析。

一、对方程做恒等变形时易失根

例：求解微分方程x =y-1

解：两边分离变量得： = ，

两边积分得方程的解为y-1=Cex，其中C为非零常数。

显然方程有一失根y=1。

例：求解方程ydx+（y-x）dy=0

解：方程有积分因子μ= ，以积分因子乘方程两边得 + =0

因而通解为 +lny=c。显然y=0也是方程的根。

这种情况还有很多，例如伯努利方程，做变换z=y-n化为一阶线性微分方程时易失根y=0。

解决办法：变换前先检查方程有没有常值解满足方程，找出这些解后再对方程做变换或变量分离，避免失根。

二……