□张芸芸

对很多初中生来说，函数概念较难理解和把握。笔者调查发现，大多数初中生的函数概念比较模糊，把握不了函数本质，甚至是曲解函数概念。函数概念难以掌握，除却学生自身心理因素外，还由于函数是一个较抽象的辩证概念，而初中学生首次从常量数学引入变量数学，他们对 “变量”还不习惯；此外，函数类型众多，表示方式多样，没有什么固定形式。初中教材中函数的表示方法有三种：解析式法、列表法、图象法，但课本对列表法和图象法介绍不多，初中生对这两种表示方法的认知度不高，以至于不少学生理解的函数表达方式仅限于函数解析式，阻碍了他们对函数本质的认识。

因此，教师在函数概念教学时需要适度淡化概念的形式定义，以生活实例导入，在比较、变化等联系性活动中揭示函数的内涵，以帮助学生理解函数概念的本质。具体来说，函数概念可由以下步骤呈现：

一、联系生活实例引入函数概念

弗赖登塔尔曾指出，“运用实际生活中出现的函数概念，而不必先去生造或定义函数。只有学生能够做出函数以后，再让他去归结出什么是函数，这才是数学活动的范例。”简言之，数学概念的教学要遵循学生的一般认知规律，从表象到规定，从具体到抽象。函数知识在社会生产、生活和科技中广泛应用，例子不胜枚举。在函数教学中，教师要从实际出发，通过与概念有明显联系的实例，使学生在对具体问题的体验中感知函数。比如，在超市买苹果，苹果单价是6.5元/斤，买x斤的苹果与需要支付的钱m之间的关系是什么？坐出租车，车费会随着路程的远近而不同，等等。这些实例易于理解，且易激发学生学习函数的兴趣，还让学生体会到函数是 “好用的数学”。教师充分利用学生熟悉的实例来引入函数学习，既是渗透函数思想方法的捷径，也有助于实现函数 “概念性的数学化”。

二、运用变式材料和否定例证来明确函数本质

首先，根据对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的共同属性，给出函数概念的定义。对初中函数概念的理解，教师要引导学生抓住以下几点：①在一个变化过程中；②两个变量中一个变量的数值随着另一变量数值的变化而变化；③对每一确定的自变量值，因变量都有唯一值与其对应；④某一类型函数所具备的独有的特征或关系。其次，为更鲜明地解释函数概念本质，促使学生深化内涵认识，教师应给出一些函数的变式材料和否定例证。如在八年级上学期刚教给学生函数定义时，可引入以下例子帮助学生辨析函数本质：

（1）在弹性限度内，某弹簧的长度y与所挂物体的质量x满足下表关系：

x（千克） 1 2 3 4 ……y（厘米） 3.5 4.0 4.5 5.0 ……

y是x的函数吗？为什么？

（2）图1是某地某月一天24小时中气温与时间的关系图，该图表述的是函数关系吗？如果是，请说出自变量和因变量。

（3）图2所示，该图中y是x的函数吗？为什么？

图1

图2

（4）关系式2x+y=5表述的是函数关系吗？如果是，请说出自变量和因变量。如果不是，请说明理由。

通过这些肯定和否定例证的辨析，进一步促进学生对函数概念内涵的深化学习，了解函数的表达方式多样，涉及的种类繁多。

三、借助新旧知识联系加深对函数概念的理解

在八年级学习 “函数”这一内容之前， 《代数式》一章就已经让学生体会到字母表示数的必要，同时要求学生能结合具体问题情境列出代数式，并根据数值的不同求取不同的代数式值，这已经渗透了初步的函数思想。同时，该章还通过找规律填图表、“数值转换机”模式等多种形式让学生体会变量之间存在着对应关系。此外， 《平面直角坐标系》为与函数图象有关的知识学习打下基础。平面直角坐标系既是研究函数问题的有效工具，又是渗透数形结合思想、发展空间观念的重要载体。而函数概念的学习又为后续函数图象与性质、函数应用的学习打下基础。每一种类型的函数学习都将使学生对函数概念的理解进一步加深，也使得函数概念体系结构显性化。

在分别学习一次函数、反比例函数和二次函数的概念时，每一种函数概念也可与其他函数概念进行类比，以明确不同函数概念间的各种联系，帮助学生建立有用的知识网络结构图。

当然，对于函数概念真正的认知和理解是不容易的，要经历一个较长的多次接触的过程。掌握函数概念的本质，绝不是背诵定义；对于函数概念定义的呈现，应以学生的可接受度为前提。教师在函数概念教学的过程中，要综合考虑所教学生的知识储备、心理水平及函数概念本身特性；对学生要有恰当的期望值，不可急于求成；鼓励学生对新知识产生探究欲望，尽力促使学生对函数学习产生兴趣和信心。

例如，反比例函数概念的教学根据以上策略可做如下设计：

11.1反比例函数

【教学目标】

1.理解反比例函数的概念，能结合具体情境理解反比例函数的意义；

2.能根据已知条件确定反比例函数关系式；

3.体会反比例函数是刻画现实世界特定数量关系的一种数学模型；

4.感受数学来源于生活，应用于生活，让学生树立学好数学的自信心。

【教学重点】

理解反比例函数的概念，根据实际问题确定反比例函数关系式。

【教学难点】

理解反比例函数的概念。

【教学过程】

1．回顾旧知。提问：（1）在小学里，我们学过如果两个量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成什么关系？ （教师板演xy=k，其中k为常数，k≠0）

同学们能举出生活中成反比例关系的具体实例吗？ （教师可先举例做示范）

（2）什么是函数？

一般地，设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称______。其中，x是______，y是______。

我们已经学习过哪些类型的函数？它们的一般形式是怎样的？

设计意图：教师通过带领学生复习反比例关系及已学相关函数知识，为后续学生自主探究和深刻理解反比例函数的概念打好基础。

2．探索新知。

“想一想”

家住上海的姨妈邀请王明暑假去上海的迪士尼乐园游玩。王明计划坐汽车从南京出发去往上海 （全程约300千米）。全程所用时间t（小时）随汽车速度v（千米/小时）的变化而变化。

（1）你能用含v的代数式表示t吗？

（2）利用 （1）的关系完成下表，并说说随着时间的变化，全程所用的时间会发生怎样的变化？

v（千米/小时） 60 70 80 90 100 t（小时）

（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？

（4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？为什么？

设计意图：利用学生生活中熟悉的实际情境引导他们应用反比例关系，初步感知反比例函数；认识到函数类型多样，在生活中应用极广。使学生易于接受新的概念，培养学生在生活中发现数学的能力。

“议一议”

（1）用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：①游泳池的容积为5000立方米，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v(立方米／h)的变化而变化；②某市电话的月租费是20元，每次打电话再付费0．6元。每月电话费y(元)随通话次数x的变化而变化；③水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的周长C随着r的变化而变化；④某村有耕地面积200亩，人均占有耕地面积y(亩)随人口数量x(人)的变化而变化；⑤实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化。

（2）提问：以上函数关系式中哪些是已经学过的？剩下的函数关系式具有什么共同特点？你还能举出类似的实例吗？你能结合两个变量之间的关系给这些新函数命名吗？

（3）讨论：什么是反比例函数？

（4）总结：一般地，形如y=k／x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，k是比例系数。

设计意图：引导学生通过对以上这些不同于一次函数和正比例函数的函数关系式的共同特点进行梳理，类比于正比例关系与正比例函数的联系，讨论得出反比例函数的定义。这样既锻炼学生观察、类比和归纳的能力，也增强了学生的主体意识，提升学生学习兴趣。

手势在人与人生活中早已产生了共鸣。比如一只手上的大拇指和食指弯曲成圆圈，其余三根手指稍微分开且伸直，就有“好”、“可以”等含义。在体育课教学中体现的更加明显。

“做一做”

例1．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

总结：（1）形如 y=kx－1（k≠0）或 xy=k （k≠0）的关系式也表示反比例函数关系；

（2）反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的一切实数。

设计意图：教师向学生提供反比例函数关系的各种变式材料及一些极易混淆的其他类型的函数关系式，让学生去观察、辨析，加深对反比例函数本质的理解，明确反比例函数概念的内涵和外延，帮助学生掌握正确、完整的反比例函数概念。

例2．一定质量的氧气，它的密度ρ(千克／立方米)是它的体积v(立方米)的反比例函数，当v=10立方米， ρ=1．43 千克 ／立方米。

（1）求ρ与v的函数关系式；

（2）求当v=2立方米时氧气的密度ρ。

设计意图：引导学生结合具体情境感知反比例函数的意义，体验从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程。进一步让学生感受函数中因变量随自变量的改变而改变，体会反比例函数中蕴藏的动态变换过程。

“练一练”

（1）课本 125－126页的练习 1、 2；

（2）若y=（k-2）xk2-5是反比例函数，求此反比例函数的关系式。

设计意图：通过这段演练，一方面加深学生对反比例函数概念的理解，另一方面让学生不断体会反比例函数在解决实际问题中的重要作用。

3．拓展提升。（1）函数y=（m－1）x|m|－2， 当m=_____时，它是正比例函数；当m=_____时，它是反比例函数。

（2）已知y=y1+y2，y1是x的反比例函数，y2是x的正比例函数，当x=2时，y=－6；当x=1时，y=3。求y与x的函数关系式，并求当x=－4时，求y的值。

设计意图：拓展题 （1）促使学生将正比例函数与反比例函数的解析式进行类比，帮助学生更好地理解两种不同函数的联系和区别。问题 （2）将两种不同种类函数组合成新函数，既拓宽学生函数认知的视野，提升学生的解题能力和思考能力，也为高中后续相关知识的学习做好铺垫。

4．归纳总结。什么是反比例函数？它的形式有哪些？

5．课后作业。 （1）课本习题 11．1 1、2； （2）《数学补充习题》 11．1

总之，函数概念的教学对学生数学能力的提升发挥着重要的作用，在具体的教学中，教师应根据学生学情，对教学策略进行适当调整，以激发学生兴趣，最终达到提高数学教学效率的目的。