陈俊艺

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0131-02

在翻阅近几年的高考试卷中，发现以极值点偏移为背景的试题，时有出现。通过阅读一些参考文献，笔者深受启发，这里给出处理此类问题的一种突破策略。

1.知识准备

极值点偏移：若可导函数在处取得极值，且函数与直线交于，两点，则的中点为，若则称极值点左偏，若则称极值点右偏。

2.真题再现

（2016年全国I卷）已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）设是的两个零点，证明：.

分析：（1）求函数的导数，并对参数进行分类讨论，分别研究函数的单调性、极值、最值，根据有两个零点，从而得到参数的取值范围.

（2）证明：要证明即要证明，是极值点右偏的问题，现给出本题的解答.

解：不妨设，由（1）知，

在上单调递增

令，则

，在上递增

所以，即，

所以，

故，即.

点评：要证明等价于，即.所以想到构造函数

3.突破策略

通过上面的解答，下面给出解决极值点偏移问题的一种策略：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造函数；

（3）研究函数的单调性；

（4）结合判断的符号，从而确定与的大小关系.

下面再结合一些题目，加深对这种策略的理解。

4.牛刀小试

例1（2013湖南文）已知函数，证明：当时，

解：易求出在上单调递增，在上单调递减.

当时，不妨设，由函数单调性知。

构造函数

令，

当时，，单调递减，

从而，又

所以即。

而，所以，又，从而.

由于，且在上单调递增，所以，即证

点评：这边构造函数主要目的是通过，判断的符号，从而较与的大小。又所以只需要考虑的符号。

例2.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ，证明：

解：，所以……