广东省深圳市宝安中学(518101)耿玉明

导函数的性质及其运用是高中数学教学的重要内容,其中利用与f′(x)有关的不等式给出的条件,求解与抽象函数f(x)相关联的不等式问题,是考查学生的导函数知识掌握程度的热点内容之一.从数学素养角度看,这类数学问题既可培养学生的逆向思维、整体思想和建构意识,又能考察学生对导函数性质的综合运用能力.其思维导图体现在：观察分析-逆向思维-构造导函数-研究性质-问题求解等几个环节.为了便于学生更好的掌握此类数学问题,笔者从构造导函数的六种类型分别给予分析概述.

类型一 构造f(x)±g(x)+c型导函数

例1设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对于任意的实数x,都有f(x)+f(-x)=2x2,且当x∈(-∞,0]时,f′(x)+1＜2x恒成立,若f(m+2)-f(-m)≤2m+2,求实数m的取值范围.

解析依据公式[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x),逆向思考：(x2)′=2x,x′=1,根据f′(x)+1＜2x可猜想构造函数g(x)=f(x)-x2+x+c(此处可取c=0),再结合条件研究g(-x)与g(x)及g(m+2)与g(-m)间的关系.

解设g(x)=f(x)-x2+x,则g′(x)=f′(x)-2x+1.当x∈(-∞,0]时,f′(x)+1＜2x,所以g′(x)＜0,即g(x)在(-∞,0]上单调递减.又f(x)+f(-x)=2x2,所以g(-x)+g(x)=f(-x)-x2-x+f(x)-x2+x=f(x)+f(-x)-2x2=0,所以g(x)在R上为奇函数,且在R上为单调递减.又f(m+2)-f(-m)≤2m+2,所以g(m+2)-g(-m)=f(m+2)-f(-m)-2m-2≤0,即g(m+2)＜g(-m).又g(m+2)＜g(-m)⇔m+2≥-m⇔m≥-1,所以m的取值范围是[-1,+∞).

巩固训练1设函数f(x)在R上存在导数f′(x),且不等式恒成立,又f(1)=1,则不等式的解集为()

类型二 构造f(x)·g(x)+c型导函数

例2设定义在(-∞,-1)∪(1,+∞)上的函数f(x),对任意的实数x,都有f(1+x)=-f(1-x),当x＞1时,f′(x)+2f(x)＞0恒成立(f′(x)为f(x)的导函数),又f(2)=0,求不等式f(x)·ln|x-1|＜0的解集.

解析依据公式[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),逆向思考(e2x)′=2e2x,根据条件f′(x)+2f(x)＞0可猜想构造函数g(x)=e2xf(x)+c,再由f(2)=0假定取值g(2)=0,进而求出c=0.

解设g(x)=e2xf(x),则g′(x)=e2x[f′(x)+2f(x)].当x＞1时,f′(x)+2f(x)＞0,所以g′(x)＞0,即g(x)在(1,+∞)上为增函数,又g(2)=e4f(2)=0,所以x∈(1,2)时g(x)＜0;x∈(2,+∞)时g(x)＞0.即x∈(1,2)时f(x)＜0;x∈(2,+∞)时f(x)＞0.又f(1+x)=-f(1-x),所以f(x)关于点(1,0)对称.所以x∈(-∞,0)时f(x)＜0;x∈(0,1)时f(x)＞0.所以

所以不等式的解集为(-∞,0)∪(0,1).

巩固训练2已知f(x)是定义在R上……