江苏省东南大学(211189)徐文平

侯明辉老师运用三角函数方法证明了三割线定理[1],在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用,依靠这个定理解题的步骤可以大大的简化.下文笔者依据极点和极线性质,探寻三割线定理的本质,并拟推广到圆锥曲线之中,验证圆锥曲线三割线定理的正确性,开展三割线定理的运用讨论,供大家鉴析.

一、关于三割线定理的本质

1.三割线定理简介

定理1PAB、PCD为圆的任意二条割线,AD与BC交于点Q,PQ连线与圆交于点E、F点,则PQ调和分割

图1

2.极点极线方法作椭圆切线

1)勒姆柯尔方法

勒姆柯尔过椭圆外一点P,引四条割线PAiBi(i=1,2,3,4),直线A1B2与A2B1交于Q点,直线A3B4与A4B3交于R点,直线QR交椭圆于S、T两个点,则S、T是椭圆对应点P的两个切点,直线PS、PT就是所求的切线(图2).

图2

2)舒马赫方法

大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法,写信给高斯,信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法.(图3).

图3

3)高斯方法

高斯在收到舒马赫的信第六天,回信提出了一个只需引两条割线.就可以作椭圆切线的简捷方法(图4).

图4

3.三割线定理的本质

勒姆柯尔、舒马赫和高斯三人提出的椭圆切线作图方法均为极点极线方法,依据极点P探寻极线ST上的二点Q、R,连接QR直线交椭圆于S、T二个切点,即PS和PT为二条切线.

依据射影几何知识可知,图4中三角形PQR是自配极三角形,其中P极点的极线是QR极线,可用于寻找ST切点,R极点的极线是PQ极线,Q极点的极是PR极线.

在图1中,三割线……